【精品】高一数学 5.6平面向量的数量积及运算律（备课资料） 大纲人教版必修VIP免费

●备课资料1.概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：［例1］已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求BC·CA.对此题，有同学求解如下：解：如图， ｜BC｜＝a＝5，｜CA｜＝b＝8，C＝60°，∴BC·CA＝｜BC｜｜CA｜cosC＝5×8cos60°＝20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此，C并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°.2.向量的数量积不满足结合律分析：若有(a·b)·c＝a·(b·c)，设a、b夹角为，b、c夹角为，则(a·b)·c＝｜a｜·｜b｜cos·c，a·(b·c)＝a·｜b｜｜c｜cos.∴若a＝c，＝，则｜a｜＝｜c｜，进而有：(a·b)c＝a·(b·c)这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：已知｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝2，a与b夹角是60°，b与c夹角是45°，则：(a·b)·c＝(｜a｜｜b｜cos60°)·c＝21c，a·(b·c)＝(｜b｜｜c｜cos45°)·a＝a而21c≠a，故(a·b)·c≠a·(b·c)3.等式的性质“实数a、b、c，且ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.［例2］举例说明a·b=a·c，且a≠0，推不出b=c.解：取｜a｜=1，｜b｜=22，a与b的夹角为45°，｜c｜=21，a与c的夹角为0°，显然a·b=a·c=21，但b≠c.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网14.“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确.［例3］已知｜a｜=2，｜b｜=3，a与b的夹角为90°，求a·b.解：a·b=2×3×cos90°=0，显然a≠0，b≠0，由a·b=0可推出以下四种可能：①a=0，b≠0;②b=0，a≠0;③a=0且b=0;④a≠0且b≠0但a⊥b.●备课资料1.常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛.即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2.应用举例［例1］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.解： ｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23∴｜a＋b｜＝23， (｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×(－3)+52＝35，∴｜a－b｜＝35.［例2］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角(精确到1°).解： (｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cos＋｜b｜2∴162＝82＋2×8×10cos＋102，∴cos＝4023，∴≈55°［例3］在△ABC中，AB=a，BC=b，且a·b＜0，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a·b=｜a｜｜b｜cosB＜0得cosB＜0，进而得B为钝角，从而错选C.解：由两向量夹角的概念，a与b的夹角应是180°－B a·b=｜a｜｜b｜cos(180°－B)=－｜a｜｜b｜cosB＜0∴cosB＞0又因为B∈(0°，180°)所以B为锐角.又由于角B不一定最大，故三角形形状无法判定.所以应选D.［例4］设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，试求：｜a+b｜的值.分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2解： a+b=(e1+2e2)+(2e1+e2)=3(e1+e2)，∴｜a+b｜=｜3(e1+e2)｜=3｜(e1+e2)｜=3221)(ee=32221212eeee=3222121||45cos||||2||eeee=322.［例5］如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是从D作AC的垂线的垂足，F是DE的中点.求证：AF⊥BE.证明：AF·BE=AF·(BC+CE)=(AD+21DE)·BC+(AE+21ED)·CE=21DE·BC+AE·CE=DE·DC+｜AE｜｜CE｜cos=DE·(DE+EC)－｜AE｜｜CE｜=｜DE｜2－｜AE｜｜CE｜=0故AF⊥BE.［例6］(1)已知a=(cos，sin)，b=(cos5，sin5)，若a·b+1=0，求sin2+cos2的值.(2)设｜m｜=2，｜n｜=1，向量m与n的夹角为2，若a=4m－n，b=m+2n，c=2m－3n，求a2+3(a·b)－2(b·c)+1的值.解：(1)a·b...