第5节抛物线及其标准方程撰写：刘可嘉审核：三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：1．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；2．了解抛物线在实际问题中的初步应用；3．进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间的内在联系。二、重点与难点重点：抛物线的定义和标准方程难点：求抛物线的标准方程三、本节知识理解设抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)，则（1）.范围：则抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是x≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）.对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.（3）．顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。（4）．离心率；抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.（5）.在抛物线y2＝2px（p＞0）中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.（6）.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点.但它不是双曲线的切线.2．抛物线和椭圆、双曲线的比较（1）.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大.它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线.（2）.椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线.精题精讲【例1】已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，求它的标准方程.【解】 抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(，－2)，∴可设它的标准方程为x2=－2py(p＞0).又 点M在抛物线上，∴()2=－2p(－2)，即p=.因此所求方程是x2=－y.【点评】本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程.【例2】已知双曲线的方程是=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.【解】 双曲线=1的右顶点坐标是(2，0).∴,且抛物线的焦点在x轴的正半轴上.∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y2=8x,x=－2.【点评】本题考查的都是双曲线的基本知识.【例3】A为抛物线y2=－x上一点，F为焦点，｜AF｜=14，求过点F且与OA垂直的直线l的方程.【解】设A（x1,y1）,2 p=,∴F的坐标是(－，0). ｜FA｜=14,∴,∴x1=－14,代入抛物线方程y2=－x,得y1=±7.∴A点的坐标是(－14，7)或(－14，－7). 或且OA⊥l kl=2或kl=－2. l过焦点F(－，0).∴l的方程是y=2(x+)或y=－2(x+)，用心爱心专心115号编辑即8x－4y+7=0或8x+4y+7=0.【点评】有关抛物线上的点与其焦点的距离问题,抛物线的定义一般是解决问题的入手点.【例4】抛物线y2=12x中，一条焦点弦的长为16，求此焦点弦所在直线的倾斜角.【解】抛物线的焦点坐标是(3，0)，设焦点弦所在的直线方程是y=k(x－3).由方程组得y2－y－36=0.∴直线被抛物线截得的弦长为. 焦点弦长为16，∴由12(1+)=16得，k=±.∴焦点弦所在直线的倾斜角为60°或120°.【例5】.已知抛物线y2=2px上有三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）且x1＜x2＜x3，若线段AB、BC在x轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列.【证明】根据题意，得x2－x1=x3－x2，即x1、x2、x3成等差数列，又由抛物线的定义得：.2 ｜BF｜=2x2＋()=2x2+p,｜AF｜+｜BF｜=x1+x3+p=2x2＋p=2｜BF｜.∴｜AF｜、｜BF｜、｜CF｜成等差数列.【例6】设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx∥轴.证明：直线AC经过原点O,【证明】 抛物线的焦点为F（，0），∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，∴y1y2=-p2.BCx ∥轴，且点C在准线x=-上，∴点C的坐标为（-，y2）.∴直线OC的斜率为k=，即k也是直线OA的斜率.∴直线AC经过原点O.【点评】本题若设直线AB的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k不存在的情况，另外，证明直线AC过原点O，这里是利用了直线OC与直线AC的斜率相等，非常简捷，如若写出直线AC的方...
