北京第十八中学高三数学第一轮复习 58 数列的概念与简单表示法（2）教学案（教师版）VIP免费

教案58数列的概念与简单表示法（2）一、课前检测1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n，求通项．解：1）当n=1时，；2）当时，=适合所以，通项2.数列、、2、…，则2是该数列的(B)A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项解析：原数列可写成、、，…. 2＝，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.二、知识梳理1．数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.解读：2．求数列的通项公式的方法（未完，待续）方法3——归纳、猜想、证明法：有的数列求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。方法4——递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.解读：3．数列与函数的关系：研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.1）判定数列{an}的单调性考查的是an＋1与an的大小关系.2）待定系数法：解读：1）比差法或比商法。2）使用待定系数法的一般步骤是：①确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；3）解方程（组），使问题得到解决。三、典型例题分析题型1归纳（从特殊到一般）、猜想、证明的思想方法——科学研究的思维方法用心爱心专心1例1已知数列an中aaaanNnnn1111且求数列的通项公式。解法1：由aaannn11得aaa234121314，，……猜想：ann1再由数学归纳法进行证明：①na111时等式成立②假设nk时等式成立，即akk1那么nkaaakkkkkk11111111即nk1时等式也成立综合①②对任意nN都有ann1成立。解法2： aaannn11∴11111aaaannnn设则∴是以为首项，为公差的等差数列则∴babbbbabnnabnnnnnnnnn111111111111变式训练1已知数列{}中=1，nnanna11(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明你的猜想。答案：（1）略；（2），证明略。小结与拓展：有的数列用一般方法不易求出通项公式，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。“归纳——猜想——证明”的思想方法是通过观察、尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明。归纳猜想是探索发现真理的重要手段。题型2周期数列例2数列{an}中，a1＝3，an－anan＋1＝1(n＝1,2，…)，An表示数列{an}的前n项之积，则求A2005。用心爱心专心2解：可求出a1＝3，a2＝，a3＝－，a4＝3，a5＝，a6＝－，…，数列{an}每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a1×a2×a3＝－1，则A2005＝(a1×a2×a3)…(a2002×a2003×a2004)×a2005＝(a1×a2×a3)668a1＝3.变式训练1在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a1000＝(D)A．5B．－5C．1D．－1解：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a1000＝－1.小结与拓展：1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）。题型3数列与函数、方程的融合——单调性等例3已知函数)(xf＝2x－2－x，数列{an}满足)(log2naf＝－2n，求数列{an}通项公式．解：nafnanan222)(log2log2log2naann21得nnan12变式训练3已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是(B)A．an＞an＋1B．an＜an＋1C．an＝an＋1D．与n的取值有关解：＝÷＝＝＜1， an＋1＞0，∴an＜an＋1.变式训练4（待定系数法）已知数列{}满足=1，=c＋b,且=3,=15,求常数b、c的值。答案：b、c分别为6、-3或1、2.小结与拓展：把an看成关于n的函数，其图象是离散的点。可用研究函数的方法研究数列，数...