北京第十八中学高三数学第一轮复习 35 定积分的定义与性质教学案（教师版）VIP免费

教案35定积分的定义与性质一、课前检测1.；答案：2.由抛物线与直线围成的平面图形的面积为.答案：3.用力把弹簧从平衡位置拉长10cm,此时用的力是200N，变力F做的功W为J.答案：10二、知识梳理1.定积分的概念：设函数在区间上有定义，将区间等分成分小区间，每个小区间长度为(),在每个小区间上取一点，依次为，作和.如果无限趋近于0(亦即趋向于)时，无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为，其中称为被积函数，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，解读：2.微积分基本定理：对于被积函数，如果，则=.解读：3.定积分的运算性质：⑴=；⑵；⑶.解读：4.定积分的几何意义：在区间上曲线与轴所围成图形面积的(即轴上方的面积减去轴下方的面积)；⑴当在区间上大于0时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义.⑵当在区间上小于0时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的.⑶当在区间上有正有负时，表示介于直线之间轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的.解读：用心爱心专心15.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.⑵变力做功公式，一物体在变力(单位：)的作用下作直线运动，如果物体沿着与相同的方向从移动到(单位：)，则力所作的功为.解读：三、典型例题分析例1求定积分⑴(2x2－)dx；⑵(＋)2dx；（3）(sinx－sin2x)dx；解：（1）(2x2－)dx＝(x3－lnx)＝－ln2－＝－ln2.（2）(＋)2dx＝(x＋＋2)dx＝(x2＋lnx＋2x)＝(＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln＋.（3）(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x)＝(－－)－(－1＋)＝－.小结与拓展：熟悉微积分基本定理及基本初等函数的导数；掌握定积分的运算性质。变式训练：求定积分：；答案：定积分的几何意义：例2求曲多边形的面积（1）如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(B)A．1B.C.D．2解：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝.（2）已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k＝________.答案：2解：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由(kx－x2)dx＝(－)＝＝求得k＝2.用心爱心专心2变式训练：已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于(D)A．0B．4C．8D．16解：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.小结与拓展：正确确定积分区间和被积函数。定积分在物理中的应用例3一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(A)A.B.C.D.解：s＝(t2－t＋2)dt＝(t3－t2＋2t)|＝.变式训练：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程_____米．答案：900解析：据题意，v与t的函数关系式如下：v＝v(t)＝所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝＝＋＋＝t2＋(50t－t2)＋10t＝900米．用心爱心专心3小结与拓展：做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数在时间区间上的定积分四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）：用心爱心专心4