第3讲平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．[注意]当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°
2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积[注意]投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2
结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0常用结论(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|
二、习题改编(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()A．12B．6C．3D．3解析：选B
a·b＝|a|·|b|cos135°＝－12，所以|b|＝＝6
一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(
