湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案:不等式证明教材:不等式证明综合练习目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程:一、简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、例一、已知01,∴∴∴解三:∵00且a1,其余条件不变。例二、已知x2=a2+b2,y2=c2+d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac+bd1证一:(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数∴要证:xy≥ac+bd只需证:(xy)2≥(ac+bd)2即:(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd展开得:a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即:a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式,显然成立∴xy≥ac+bd证二:(综合法)xy=≥证三:(三角代换法)∵x2=a2+b2,∴不妨设a=xsin,b=xcosy2=c2+d2c=ysin,d=ycos∴ac+bd=xysinsin+xycoscos=xycos()≤xy例三、已知x1,x2均为正数,求证:证一:(分析法)由于不等式两边均为正数,平方后只须证:即:再平方:化简整理得:(显然成立)∴原式成立证二:(反证法)假设化简可得:(不可能)∴原式成立证三:(构造法)构造矩形ABCD,使AB=CD=1,BP=x1,PC=x2当APB=DPC时,AP+PD为最短。2ABCDPM取BC中点M,有AMB=DMC,BM=MC=∴AP+PD≥AM+MD即:∴三、作业:2000版高二课课练第6课3