第二节函数的单调性考纲点击1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.热点提示1.函数的单调性是函数的一个重要性质，仍是2011年高考的重点．常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，求函数的最值或求某变量的取值范围等.2.在高考试题中三种题型都有可能出现，选择题、填空题较多.,,,增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的1.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．2.函数的值域(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相对应的y值叫做函数值、叫做函数的值域．增函数减函数区间D函数值的集合(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域是.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为③y＝(k≠0)的值域是．④y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是．⑤y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是.⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是．⑦y＝tanx的值域是.R{y|y≠0}(0∞，＋)R[－1,1]R前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3．函数的最值1.单调区间与函数定义域有何关系？提示：单调区间是定义域的子区间.2.最值与函数的值域有何关系？提示：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在.1．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(∞－，4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．[－3∞，＋)B．(∞－，－3]C．(∞－，5]D．[3∞，＋)【解析】f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，∴f(x)在(∞－，1－a]上是减函数，要使f(x)在区间(∞－，4]上是减函数，则只需1－a≥4，即a≤－3.【答案】B2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(∞∞－，＋)上是减函数，则()【答案】D【解析】使y＝(2k＋1)x＋b在(∞∞－，＋)上是减函数，则2k＋1＜0，即k＜－3．函数y＝的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长b－a的最小值是()【解析】数形结合如右图，要使值域为[0,2]，(b-a)min=【答案】B4．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．【解析】依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增函数．【答案】①③5．函数y＝的值域为________．【答案】(∞－，1)∪(1∞，＋)【解析】由函数的图象得y＜1或y＞1，∴值域为(∞－，1)∪(1∞，＋)．函数单调性的判定试讨论函数f(x)＝，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．【思路点拨】可根据定义，先设－1＜x1＜x2＜1，然后作差、变形、定号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断f′(x)与零的大小关系．【自主探究】方法一：根据单调性的定义求解．设－1＜x1＜x2＜1， －1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，x12－1＜0，x22－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时函数为减函数当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时函数为增函数．方法二： f(x)＝即f′(x)＜0，此时f(x)在(－1,1)上为减函数．同理，当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．综上可知，a＞0时，f(x)在(－1,1)上为减函数；a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．【方法点评】1.用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根...
