教材过关七三角形一、填空题1.△ABC中,∠A+∠B=100°,∠C=2∠A,则∠A=_______________,∠B=_________________.答案：40°60°提示：三角形内角和是180°.2.如图7-29,已知△ABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是∠ABC的高线,AE是∠BAC的平分线,则∠DAE=__________________.图7-29答案：10°3.如图7-30,∠ABC=40°,∠C=70°,AD平分∠BAC,BE⊥AC,则∠AFE=__________________.图7-30答案：50°4.如图7-31,∠BAD=∠CBE=∠ACF,∠FDE=64°,∠DEF=48°,则△ABC的各内角的度数分别是________________.图7-31答案：∠ABC=64°,∠ACB=48°,∠BAC=68°提示：三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和.5.如图7-32,一台起重机在工作时,前后两次吊杆与线绳的夹角分别为30°和75°,则吊杆前后两次的夹角为___________________.图7-32答案：45°提示：两直线平行，同位角相等.二、选择题°,此三角形一定为()三角形.答案：B∠α=80°,∠β的两边与∠α的两边分别垂直,则∠β为°°°°或100°答案：D提示：相等或互补.8.如图7-33,将一长方形纸片一角斜折,使点A落在A′处,折痕为EF,EH平分∠A′EB,则∠FEH的度数为°°°°图7-33答案：C提示：EF、EH是角平分线.9.如图7-34,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED内部时,则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变,这一规律是图7-34A.∠A=∠1+∠∠A=∠1+∠2∠A=2∠1+∠∠A=2(∠1+∠2)答案：B三、解答题10.如图7-35,图7-35(1)∠ACD=110°,∠A=35°,求∠1的度数.(2)求证:∠1>∠AEF.(3)请添加一个条件(至少写出三种以上,图中不再添加辅助线和字母),可使得∠1=∠AED,并选择其中一种加以证明.答案：(1)∠1=105°.(2)∵在△FBE中，∠1是外角，∴∠1>∠△AFE中，∠BFE是外角,∴∠BFE>∠AEF.∴∠1>∠AEF.(3)可添加∠AEF=∠ABC(∠AFD=∠ECD或∠BFD=∠ACB等).∵∠AED+∠AEF=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠AED=180°-∠AEF，∠1=180°-∠ABC.∵∠AEF=∠ABC，∴∠1=∠AED(答案不唯一).“在三角形每一顶点处各取一个外角,它们的和就是这个三角形的外角和”.如图7-36,完成下列问题.图7-36(1)你能求出三角形的外角和等于多少吗?证明你的结论.(2)如果将三角形三条边都向两边延长,并在每两条延长线上任取两点连结起来,那么在原三角形外又得到三个新三角形,如图所示,猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少?(3)请用(1)的结论证明(2)的猜想.(4)对于(2)的证明你还有其他的方法吗?请写出来与同伴交流.答案：(1)三角形外角和等于360°.已知：如图△ABC，∠4，∠5，∠6是外角.求证：∠4+∠5+∠6=360°.证明：∵∠4是外角,∴∠2+∠3=∠4.同理，∠1+∠3=∠5，∠2+∠1=∠6,∴∠4+∠5+∠6=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠2+∠1)=2(∠1+∠2+∠3).∵∠1+∠2+∠3=180°,∴∠4+∠5+∠6=2×180°=360°.(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.(3)∵∠4是△ABN的外角(已知),∴∠A+∠B=∠4(三角形任一外角等于与其不相邻的两内角和).同理，∠C+∠D=∠5，∠E+∠F=∠6,∴∠4+∠5+∠6=(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+(∠E+∠F).由(1)得∠4+∠5+∠6=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°(等量代换).(4)∵∠A+∠B+∠ANB=180°,∠C+∠D+∠CHD=180°,∠E+∠F+∠EMF=180°,∴∠A+∠B+∠ANB+∠C+∠D+∠CHD+∠E+∠F+∠EMF=180°×3=540°.∵∠ANB=∠HNM,∠CHD=∠MHN,∠EMF=∠HMN,∠HNM+∠MHN+∠HMN=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.12.(1)如图7-37(1),则∠O、∠1、∠2、∠P满足怎样的关系?说明你的结论.图7-37(2)如果将图中的点O拉向远离P的方向,如图7-37(2),此时∠O、∠1、∠2、∠P的关系是否仍满足(1)的结论?若不满足,请写出你认为正确的结论,并加以说明.答案：(1)∠O=∠1＋∠2＋∠P.如图,延长AO交PB于M,则∠AMB=∠P＋∠1(外角定义).∵∠AOB=∠AMB＋∠2(外角定义),∴∠AOB=∠1＋∠2＋∠P(等式性质).(2)不满足上题结论,此时∠1＋∠2=∠APB＋∠D.证明：连结OP.∵∠1=∠APO＋∠AOP,∠2=∠BPO＋∠BOP(外角定义),∴∠1＋∠2=∠APB＋∠AOB(等式性质).
