1复旦大学数学分析考研真题一．填空题（1）0limxln(1)1cosxxx=_____(2)微分方程'y=(1)yxx的通解是____,这是变量可分离方程（3）设是锥面z=22xy(0z1)的下侧，则23(1)xdydzydzdxzdxdy____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____(5)设A=2112,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则B=____(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布，则{max(,)1}Pxy____一、选择题（1）设函数()yfx具有二阶导数，且'()0fx，''()0fx，x为自变量x在0x，处的增量，y与dy分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则（）（A）0dxy（B）0ydy（C）0ydy（D）0dyy（2）设(,)fxy为连续函数，则4100(cos,sin)dfrrrdr等于（）（A）2210(,)xxdxfxydy（B）22100(,)xdxfxydy（C）2210(,)yydyfxydx（D）22100(,)ydyfxydx（3）若级数1nna收敛，则级数（）（A）1nna收敛（B）1(1)nnna收敛（C）11nnnaa收敛（D）112nnnaa收敛2（4）设(,)fxy和(,)xy均为可微函数，且'(,)yxy0，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是（）（A）若'00(,)0xfxy，则'00(,)0yfxy（B）若'00(,)0xfxy，则'00(,)0yfxy（C）若'00(,)0xfxy，则'00(,)0yfxy（D）若'00(,)0xfxy，则'00(,)0yfxy（5）设12,,,s都是n维向量，A是mn矩阵，则（）成立（Ａ）若12,,,s线性相关，则12,,sAAA线性相关（Ｂ）若12,,,s线性相关，则12,,sAAA线性无关（Ｃ）若12,,,s线性无关，则12,,sAAA线性相关（Ｄ）若12,,,s线性无关，则12,,sAAA线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将A的第2列加到第1列上得B，将B的第一列的1倍加到第2列上得C，记110010001P，则（）（A）1CPAP（B）1CPAP（C）TCPAP（D）TCPAP（7）设A，B为随机事件，()0PB，|1PAB,则必有（）（A）()PABPA（B）()PABPB（C）()()PABPA（D）()()PABPB（8）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且12{1}{1}PXPY，则（）（A）12（B）12（C）12（Ｄ）123三、简答题（1）设区域22{(,)|1,0}Dxyxyx，计算二重积分2211DxyIdxdyxy（2）设数列{}nx满足110,sinnnxxx（n=1,2）,求：（I）证明limnxx存在，并求之（II）计算211limnxnxnxx（3）设函数()fu在（0，）内具有二阶导数，且22()zfxy满足等式22220zzxy（I）验证'''()()0fufuu（II）若'(1)0,(1)1ff，求函数()fu的表达式（4）设在上半平面{(,)|0}Dxyy内，函数(,)fxy是有连续偏导数，且对任意的0t都有2(,)(,)ftxtytfxy证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有(,)(,)0Lyfxydxxfxydy（5）已知非齐次线性方程组1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx有３个线性无关的解（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩()2rA（II）求a,b的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T，2(0,1,1)T实线性方程组0Ax的两个解，（I）求A的特征值与特征向量（II）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得TQAQA4（7）随机变量X的概率密度为1,1021(),0240,Xxfxx其他令2,(,)yxFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度()Yfy(II)1,42F(8)设总体X的概率密度,01(,0)1,120,xFXx其他其中实未知参数（01），12,,,nXXX为来自总体X的简单随即样本，记N为样本值12,,,nxxx中小于1的个数，求的最大似然估计
