大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题A大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试卷课程名称:计算方法授课院(系):应用数学系考试日期:2007年11月日试卷共6页一二三四五六七八九十总分标准分4281515155////100得分一、填空(每一空2分,共42分)1.为了减少运算次数,应将表达式.改写为_______;2.给定3个求积节点:,和,则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为,用Simpson公式求得的近似值为。1.设函数,若当时,满足,则其可表示为。4.已知,则,,逼近的Newton插值多项式为。5.用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为:。6.已知,则的Jordan标准型是;7.设是阶正规矩阵,则;8.求解一阶常微分方程初值问题,的向后(隐式)Euler法的显式化的格式为:。9.设12为的近似值,且,则至少有位有效数字;10.将,化为的Householder矩阵为:;11.;12.用二分法求方程在区间内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为。13.若为Newton-Cotes求积公式,则,若为Gauss型求积公式,则。14.设,则在Schur分解中,可取为。15.设,则,。二、(8分)已知近似值,,均为有效数字,试估计算术运算的相对误差界。三、(15分)设线性方程组:(1)列主元消元法求出上述方程组的解,并计算,,和;(2)试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛?(3)请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式,并说明其收敛性。四、(15分)对于如下求解一阶常微分方程初值问题,的数值方法①证明其收敛性;求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间;②要用此方法解,。为使方法绝对稳定,求出步长的取值范围并以,初值,为步长,求出的近似值。五、(15分)(1)用Schimidt正交化方法,构造上以权函数的正交多项式系:,,,;(2)构造计算具有5次代数精度的数值求积公式;(3)利用2)的结果求出的数值解。六、证明题(5分)任选一题1.设均为可逆矩阵,且齐次线性方程组有非零解,证明:对于中的任何矩阵范数,都有。2.已知,求出,证明收敛。大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A卷答案课程名称:计算方法授课院(系):应用数学系考试日期:2007年11月日试卷共6页一二三四五六七八九十总分标准分4281515155////100得分一、填空(每一空2分,共42分)1.为了减少运算次数,应将表达式.改写为;2.给定3个求积节点:,和,则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为,用Simpson公式求得的近似值为。1.设函数,若当时,满足,则其可表示为。4.已知,则6,0,逼近的Newton插值多项式为。5.用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为:。6.已知,则的Jordan标准型是或;7.设是阶正规矩阵,则;8.求解一阶常微分方程初值问题,的向后(隐式)Euler法的显式化的格式为:。9.设12为的近似值,且,则至少有5位有效数字;10.将,化为的Householder矩阵为:;11.;12.用二分法求方程在区间内的根,进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为。13.若为Newton-Cotes求积公式,则,若为Gauss型求积公式,则。14.设,则在Schur分解中,可取为或。15.设,则,。二、(8分)已知近似值,,均为有效数字,试估计算术运算的相对误差界。解:由已知,;;。令,,由函数运算的误差估计式++从而,相对误差可写成﹟三、(15分)设线性方程组:(1)列主元消元法求出上述方程组的解,并利用得到的上三角矩阵计算出(要有换元、消元过程);(2)试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛?(3)请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式,并说明其收敛性。解:(1)故,,。(2)由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足:,则,故,从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为:,,则,故,从而Jacobi迭代法发散。(3)将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后,新的方程组的系数矩阵为:是严格对角占有的,故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss...