专题训练恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立3、恰成立问题的转化：afx在M上恰成立afx的解集为MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax。6、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得12=fxgx，则fx在bax,1上的值域M是xg在dcx,2上的值域N的子集。即：MN。7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax8、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；10、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x．1）对任意]2,1[x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21xx，都有)()(21xgxf恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(xgxf恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(xf和)(xg分别求最值，即只需满足)()(maxminxgxf即可．简解：（1）由12012232xxxaxaaxx成立，只需满足12)(23xxxx的最小值大于a即可．对12)(23xxxx求导，0)12(12)(2224xxxx，故)(x在]2,1[x是增函数，)(minx2、设函数取值范围．分析：思路实质还是通方法1：化方法2：变方法3：变简解：方法由此可知，hh10)1(10)41(3、已知两1)(gxf解析：对任的最小值4.已知f意的1[x解析：都取得极值∴2()3fx∴ab[(f又函数g（1）当1<2m时：min11()=()=24gxg，依题意有1746成立，∴1<2m（2）当122m时：2min()=(m)=mgxgm，∴27m6m，即26670mm，解得：3513+5166m又 122m，∴13+5126m（3）当>2m时：min()=(2)=43gxgm，∴7436m，3118m，又>2m，∴m综上：3+516m所以，实数m的取值范围为3+51(,]6题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p的所有实数p,求使不等式212xpxpx恒成立的x的取值范围。解：不等式即21210xpxx,设2121fpxpxx，则fp在[-2,2]上恒大于0，故有：222043031112010fxxxxxxfx或或1x或3x2、已知函数()ln()(xfxeaa为常数）是实数集R上的奇函数，函数()singxfxx是区间1,1上的减函数，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若2()11,1gxttx在上恒成立，求t的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在,1内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：()fxx，()singxxx，()gx在11，上单调递减，()cos0gxxcosx在11，上恒成立，1，max()(1)sin1gxg，只需2sin11tt，2(1)sin110tt（其中1）恒成立，由上述②结论：可令2(1)sin110(1ftt）,则2t101sin110tt，21sin10ttt，而2sin10tt恒成立，1t。题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当1,2x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.解析:当(1,2)x时，由240xmx得24xmx.∴5m.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））1、若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是________解析：对xR,不等式||xax恒成立、则由一次函数性质及图像知11a，即11a。2、已知函数222fxxkx，在1x恒有fxk，求实数k的取值范围。分析：为了使fxk在1,x恒成立，构造一个新函数Fxfxk，则把原题转化成左边二次函数在区间1,时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令222Fxfxkxkxk，则0Fx对1,x恒成立，而Fx是开口向上的抛物线。①当图象与x轴无交点满足0，即24220kk，解得21k。②当图象与x轴有交点，且在1,x时0Fx，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得...
