导数与微分知识拓展一VIP免费

用心爱心专心【知识拓展】1．若函数y＝f（x）是由参数方程所确定的，该怎样求它的导数？前面我们讨论了显函数和隐函数的导数，但在某些情况下，因变量y与自变量x的关系是通过另一参变量t由参数方程tx和ty来给出的，对于这类函数，有时可以把它很简单地表示成显函数的形式，但有时就比较麻烦甚至不可能．因此，我们有必要找出这类函数的求导方法．设tx的反函数xt1，并设它满足反函数求导的条件，于是可把y看作复合函数．.xty1由复合函数与反函数的求导法则，得.tt'dtdxdtdydxdydtdydxdy.dxdy,tsiny,tcosx1所确定的函数的导数求参数方程例.tcottsintcostcostsindtdxdtdydxdy规范解法.dxyd数所确定的函数的二阶导，2tty1,tx求参数方程例22223思路启迪根据二阶导数的定义,dxyddxdydxddxyd22因此要求,dxyd22只要把y对x的导数y求出来，再将y与x＝t－1联系，重复利用参数方程求导公式，求出y对x的导数，即dx'dy也即是我们要求y对x的二阶导数.dxyd22用心爱心专心.2t324t61tt4t3dtdxdxdydtddxdydxddxyd.t4t3dtdxdtdydxdy2222规范解法如果函数y＝f（x）是由极坐标方程γ＝γ（θ）给出来的，则可把极坐标方程先化成参数方程，再求导数．即x＝γ（θ）cosθ,y＝γ（θ）sinθ,从而.tantansincoscossinddxddydxdy2．什么是罗尔定理？我们先考察一个函数2xxfy，容易验证这个函数满足：（Ⅰ）在闭区间[－1，1]上连续．（Ⅱ）在开区间（－1，1）内可导．（Ⅲ）f（－1）＝f（1）＝1．这个函数的导数,0x2xf,x2xf令得x＝0∈（－1，1）即在开区间（－1，1）内存在点x＝使得00f（如图3－14）．一般地，我们有（即罗尔定理）．若函数f（x）满足条件（Ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（Ⅱ）在开区间（a,b）内可导；（Ⅲ）在区间[a,b]的两个端点的函数值相等，即f（a）＝f（b），则至少存在一点b,a使得.0f罗尔定理的几何意义是：两个端点的纵坐标相等的处处存在切线（端点除外）的连续曲线y＝f（x）上，至少有一点f,的切线是水平的．如图3－15．用心爱心专心.3,1x,3x2xxf2满足罗尔定理证明例,1x22x2xf.03f1f,3x1xxf规范证法显然f（x）满足罗尔定理的三个条件，其中a＝－1,b＝3．存在点ξ＝1∈（－1，3），使.01f即符合罗尔定理的结论．3．什么是拉格朗日中值定理？在罗尔定理的几何意义中，可以看出在罗尔定理的条件下，曲线上至少有一条切线是水平的，这时曲线的两个端点的连线也是水平的（f（a）＝f（b）），因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线．这个结论可以推广到更一般的情况，即有下面更一般的结论（即拉格朗日中值定理）．若函数f（x）满足：（Ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（Ⅱ）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点ξ∈（a，b），使.abafbffaxabafbfafxfxF证明：作辅助函数容易验证，F（x）在[a，b]上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点ξ∈（a，b），使.0F.abafbff.0abafbffF,abafbfxf)x(F即从而又拉格朗日中值定理的几何意义是：处处存在切线(两个端点除外)的连续曲线y＝f(x)上，至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图3—16)．用心爱心专心在拉格朗日定理的证明中，采用的方法是先作出一个辅助函数，故这种方法也称辅助函数法．辅助函数法也称为构造法．它是数学分析中一种重要的证题方法，这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数，然后再由已知条件、概念和定理，推断所要证明的结论的正确性．拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理，也是微分学中最重要的定理之一，它的结论常称为拉格朗日中值公式．为运用方便，可把这个公式写成下列几种形式．.1θ0Δx,θΔxxfxfΔxxfⅣ.1θ0,ababθafafbfⅢ.ba,ξ,abξfafbfⅡ.ba,ξ,abafbfξfⅠ000.1θ0Δx,θΔxxfΔyⅤ0对于这些公式要灵活运用，比如：①不必局限于a