小升初奥数五大几何模型VIP专享VIP免费

第1页共39页小学奥数平面几何五大定律教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::SSab③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE△△EDCBAEDCBA图⑴图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::SSab②221324::::::SSSSababab；③S的对应份数为2ab．baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBAABCDObaS3S2S1S4第2页共39页四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG①ADAEDEAFABACBCAG；②22:ADEABCSSAFAG△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，661.5622624.54216.5DEFS△,所以长方形EFGH面积为33．_ECDBH_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_HOFEDCBA第3页共39页【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG．(我们通过ABG△把这两个长方形和正方形联系在一起)． 在正方形ABCD中，G12ABSABAB△边上的高，∴12ABGABCDSS△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGBSS△．∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等．长方形的宽88106.4(厘米)．【例2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：HGFEDCBA可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC．所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D...