常微分方程总结VIP专享VIP免费

（1）概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如：一阶：2dyxdx二阶：220.4dsdt三阶：32243xyxyxyx四阶：4410125sin2yyyyyx一般n阶微分方程的形式：,,,,0nFxyyy。这里的ny是必须出现。（2）微分方程的解设函数yx在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，,,0nFxxxx则yx称为微分方程,,,,0nFxyyy的解。注：一个函数有n阶连续导数→该函数的n阶导函数也是连续的。函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。函数连续定义：设函数yfx在点0x的某一邻域内有定义，如果00limxxfxfx则称函数fx在点0x连续。左连续：000limxxfxfxfx左极限存在且等于该点的函数值。右连续：000limxxfxfxfx右极限存在且等于该点的函数值。在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。函数在0x点连续0000limlimlimxxxxxxfxfxfxfx1、fx在点0x有定义2、0limxxfx极限存在3、00limxxfxfx（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解。注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。补充：设12,,nyxyxyx是定义在区间I上的n个函数，若存在n个不全为零的常数（强调存在性，找到一组常数即可）12,,,nkkk，使得当对xI时有恒等式：11223()()0nkyxkyxkyx成立。则称这n个函数在区间I上线性相关。若当且仅当12,,,nkkk全等于零该等式才恒成立。则这n个函数在区间I上就线性无关。例：函数221,sin,cosxx在整个数轴上线性相关。221sincos0xx恒成立。函数21,,xx在任何区间,ab→线性无关21230kkxkx要使恒成立，则1230kkk否则：若123,,kkk不同时等于零，则21230kkxkx最多只有两个x的值能是该式恒成立。对x不具有普遍性。对两个函数12,yxyx而言：12(yxcyx常数）→线性相关12(yxxyx函数）→线性无关定解条件（初始条件）：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数的条件。通解→特解一阶微分方程定解条件一般为：00xxyy二阶微分方程定解条件一般为：0000,xxxxyyyy其中000,,xyy都是给定的值。微分方程的解→yx的图形是一条曲线→称作微分方程的积分曲线求微分方程(,yfxy）满足初始条件00xxyy的特解这一问题称作一阶微分方程的初值问题。记作00(,xxyfxyyy）几何意义：求微分方程的通过00,xy的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题：0000,,,xxxxyfxyyyyyy几何意义：求微分方程的通过点00,xy且在该点斜率为0y的那条积分曲线。（4）几种常见的微分方程1、可分离变量的微分方程一般形式形式：(,yfxy）对称形式：,,0pxydxqxydy（,xy都可以看做函数，另一个为自变量）即：,(,0),pxydyqxydxqxy或,(,0),qxydxpxydypxy可分离变量：如果一阶微分方程能写成gydyfxdx的形式。特点：一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx。这样微分方程称为可分离变量的微分方程。例：求解2dyxydx的通解。解：12dyxdxy→12dyxdxy→21lnyxc→通解：221xcxyece2、齐次微分方程一阶微分方程可以化成dyyfdxx的形式。求解：dyyfdxxyuxyux，dyduxudxdxduxufudx11dudxfuux（可分离变量）通解例：解方程22dydyyxxydxdx22dydyyxxydxdx2ydyydyxdxxdx2duduuxuuxudxdx1duxuudx111dudxux111dudxux1lnlnuuxc122ln,lnyuxyuxucuxceyuxyceycx3、一阶线性微分方程若0dypxydx，称为一阶齐次线性微分方程。若dypxyqxdx（0qx），称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解0dypxydx的通解如下：可分离变量的一阶微分方程110lndypxydypxdxypxdxcdxy2pxdxycepxdxyce（齐次方程通解）采用积分因子法求dypxyqxdx的一个特解如下：指数因子：pxdxepxdxpxdxpxdxpxdxdydypxyqxepxyqxeeyqxedxdxpxdxpxdxeyqxedxcpxdxpxdxyeqxedxcdypxyqxdx（0qx）的通解为：pxdxpxdxpxdxyceeqxe...