论文4幂级数在近似计算中的应用谢文清江权霞(指导老师:陈引兰)数学与统计学院1001班摘要：形如200102000()()()()nnnnnaxxaaxxaxxaxx的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln2e等，利用计算机相关软件，进行近似计算.关键词：幂级数、近似计算1.理论依据以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()nrx估计.我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项23012121351211211!2!3!!r(1)!(2)!(1)(1)213!5!21(1)r2nnxnnnnnnnnnnnnxxxxexnnxxnnxxxxxnnxn①②arctanx12321=12123123111(1)123(2n1)!!=+(2)!!21(21)!!(23)!!r(22)!!23(24)!!25(1)(1)23(1)rnnnnnnnnnnnnnnnxnxnnnxnxnnnnxxxxxnnxn③arcsinxx④ln(1+x)=12(1)12nnxn2．的近似计算本节利用两个函数的幂级数展开式来近似计算，在相同的误差条件下，取不同的x，若取级数的前n项和作为的近似值，对应的n值不一样，这就为幂级数在近似计算中的应用提供了很大的空间.⑴由函数arctanyx的幂级数展开式知1211(1)21nnnxnarctanx①若取1x时，1111(1)43521nn（1）1114(1+(-1))3521nn等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n项之和作为的近似值即1114(1+(-1))3521nn，其误差为42+1nrn，为了保证误差不超过410，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctanx展开式而言，当x越小收敛越快，恰恰在端点1x收敛最慢.以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.②现若取33x带入展开式得351211111111()()(1)()635213333nnn（2）12311111111123(1(1))335373213nnn若取级数的前n项和作为的近似值，其误差为12311111111123(1(1))33537321323(2+1)3nnnnrnn下面实现(2)式的计算，若要求误差小于410(计算的程序见附录1)当n=8时，4892310193r2371111111123(1)3.14167335373153③现取12x，1arctan2，显见04，记4，而1tantan()43，所以1tan3arc，就是11tantan423arcarc3513135131111114(...23252132111111...(1))33353133n(3)下面实现(3)的计算，若要求误差小于410(计算的程序见附录2)当n=7时，1351335131111111111114(......(1))3.141562325213233353133n对于arctanyx，误差一样（如要求误差小于410），取不同的x，对应部分和的项数n与近似计算的值如下表x13312n20000873.141673.14156⑵对于sinarcx的展开式而言，取12x11(21)!!162(2)!!21nnnn+(4)下面实现(4)的计算，若要求误差小于410(计算的程序见附录3)当n=4时，4497!!108!!92r35711!!3!!5!!3.14115622!!324!!526!!72综上，知当误差确定时，对相同的幂级数展开式，x的取值不同，所取部分和的项数不同，近似计算的值也不同，对不同的幂级数展开式结果亦然.当然，当误差改变时，我们同样可以利用幂级数展开式估算出的值，其精确度更高.3.数e的近似计算xe以的幂级数展开式为基础进行讨论2301!2!3!!nnxnxxxxexnn当x=1时，11112!!en211(11)2!!111(1)!(2)!(3)!111(1)(1)!(2)(2)(3)1111(1)(1)!1(1)!nrennnnnnnnnnnnn所以取11112!!n作为近似值，则误差为1!nn.例如:精确到7110，则需要71110!10nrnnn(见附录4)111112.71828182!3!10!e.扩广:利用幂级数推导e是无理数.1110(11)0!(11)12!!!2!!nnxxennennnn1!(11)2!!nxknnen令01k1!(11)2!!11112!!!11112!!!nxnnenennnknnn反证法:假设e是有理数，则,,(,)1,pqNpqpq11!1111!(11)2!!!2!!pkpnnennkqnnnqn等式左边是一个整数，右端第一项是整数，而k是小数；即右端不是整数，矛盾.故e是无理数.4.对数的计算利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算。根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了.以ln(1+x)的麦克劳林级数作为出发点12311(1)(1)23nnnnnxxxxxxnnln(1+)=①当=1x时,11111ln21(1)234nn当取前n项作为其近似值，其误差1111(1)1)2341nnnxRnn=ln2-(1-如要精确到410就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为11x,这就不能直...
