向量问题的坐标解法向量的坐标表示是将几何问题代数化，用坐标法解决向量问题思路清晰，操作简单方便，下举例说明。例1.设O在△ABC的内部且满足，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A.2B.C.3D.解：如图1建立坐标系。图1设A（0，0），B（a，b），C（c，0），O（x，y），则因为即所以从而说明：原解答分别取AC、BC中点求解，同学们不易想到，而建立坐标系求解则轻松、自然。例2.四边形ABCD中，若，求。解：如图2建立坐标系。图2设，则代入已知条件得：即所以例3.设P为△ABC所在平面内一点，求取最小值时P点的位置。解：设则（其中m为常数）所以，当即P为△ABC的重心时，取得最小值。例4.P为△ABC所在平面内一点。求证：证明：如图3建立坐标系。图3设，则从而说明：原解答利用垂心的性质证之，要求较高，证法较烦，显然坐标解法相对简练。例5.O为△ABC内一点，记，求证：证明：如图4建立坐标系。图4设则从而由于故所以平面向量数量积的八大热点问题一、平行问题这类题主要考查向量平行的充要条件：若向量，且，则。例1.（2005广东）已知向量，且，则_______。解：由，根据向量平行的充要条件，得：，解得。应填4。二、垂直问题这类问题主要考查两向量垂直的充要条件：若向量，则。例2.（2005福建）在△ABC中，∠C＝90°，，则k的值是（）A.5B.C.D.解：由，又∠C＝90°，则由向量垂直的充要条件，得：，解得k＝5故选A。点评：本题运用∠C＝90°，转化为，进而转化为，从而求出k。三、求模问题若则，或，对于求模有时还运用平方法。例3.（2005湖北）已知向量，若不超过5，则k的取值范围是__________。解：由，又，由模的定义，得：解得：，故填。评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例4.（1）（2004全国）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝（）A.B.C.D.4（2）（2004湖南）已知向量，向量，则的最大值是___________。解：（1）所以，故选C。（2）由题意，知又则的最大值为4。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。四、求夹角问题求夹角可用解决。例5.（2005北京）若，且，则向量与的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°解：设所求两向量的夹角为θ，由，有，即又所以θ＝120°，而选C。五、辩析型问题主要考查向量的数量积是向量间的一种乘法运算，结果是一个数量，注意与实数的乘法运算区别，特别是不满足结合律，消去律。例6.（2004湖北）已知为非零的平面向量。甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：命题甲：由得从而，或，或。命题乙：故乙甲，但甲，故甲是乙的必要但不充分条件，而选B。六、求向量例7.（2004江苏）平面向量中，已知，且，则向量____________。解：设所成的角为又，则故向量共线并同向又，故七、求数量积例8.（2004浙江）已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于___________。解法1：运用定义以上三式相加，得所求为解法2：整体处理由即得，故填。解法3：挖掘隐含。由平面上三点A，B，C构成以B为直角顶点的直角三角形，知故八、交汇问题是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题，创新题。例9.（1）（2005上海）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________________。（2）（2005湖南）已知直线与圆相交于A、B两点，且，则___________。解：（1）由，有，即故应填（2）先由圆的几何性质，求得两向量的夹角是120°，则故填。评注：第（2）小题关键是运用几何法求出两向量的夹角，再运用向量的数量积公式即可。向量在代数中的应用向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。1.等式证明证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。例1.已知，且x，y，z，a，b，c为非零实数，求证。...
