试题习题，尽在百度百度文库，精选试题圆锥曲线与方程02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．若直线l：0cmyx与抛物线xy22交于A、B两点，O点是坐标原点.(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标.(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论.【答案】设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由202xycmyx得0222cmyy可知y1+y2=－2my1y2=2c∴x1+x2=2m2—2cx1x2=c2,(1)当m=－1,c=－2时，x1x2+y1y2=0所以OA⊥OB.(2)当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0于是c2+2c=0∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：02myx过定点(2,0).(3)由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径.),(2mcmD而(m2—c+21)2－[(m2—c)2+m2]=c41由(2)知c=－2∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离.2．如图，,AB是椭圆C：22221(0)xyabab的左、右顶点，M是椭圆上异于,AB的任意一点，已知椭圆的离心率为e，右准线l的方程为xm.试题习题，尽在百度百度文库，精选试题(1）若12e，4m，求椭圆C的方程；(2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰过原点，求e.【答案】（1）由题意：2222124caacabc，解得23ab．椭圆C的方程为22143xy．(2)设2(,),(,)aMxyPc，因为,,AMP三点共线，所以22(),ayaycaxaxaac22222()()1()()OPBMacyayyacckkaxaxaaxa2222233()()()0bacacaccacaaa210ee,解得512e3．已知椭圆E：22221(0)xyabab的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：223360xyxy过A，F2两点．(1）求椭圆E的方程；(2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P在一定圆上．试题习题，尽在百度百度文库，精选试题【答案】（1）圆223360xyxy与x轴交点坐标为(23,0)A，2(3,0)F，故23,3ac，所以3b，∴椭圆方程是：221129xy．(2）设点P（x，y），因为1F（－3，0），2F（3，0），设点P（x，y），则1PFk＝tanβ＝yx＋3,2PFk＝tanα＝yx－3，因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－3．因为tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanαtanβ＝－23yx2＋y2－3，所以－23yx2＋y2－3＝－3．化简得x2＋y2－2y＝3．所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上．4．已知定点(1,0)C及椭圆2235xy,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．(1）若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；(2）当直线AB与x轴不垂直时，在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1）,将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．设A（x1,y1）,B（x2,y2）,由线段AB中点的横坐标是-21，得221xx=-13322kk=-21,解得k=±33，适合①.所以直线AB的方程为x-3y+1=0,或x+3y+1=0．试题习题，尽在百度百度文库，精选试题(2）假设在x轴上存在点M（m，0），使MBMA为常数．当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1+x2=-13622kk,x1x2=135322kk．③所以MBMA=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2．⋯9分将③代入，整理得MBMA=135)16(22kkm+m2=133142)13)(312(22kmkm+m2=m2+2m-31-)13(31462km．注意到MBMA是与k无关的常数，从而有6m+14=0，m=-37，此时MBMA=94．所以，在x轴上存在定点M0,37，使MBMA为常数．5．设12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C相交于,AB两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为23.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果222AFFB，求椭圆C的方程．【答案】(1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0) kl＝tan60°＝3,∴l的方程为y＝3(x－c)即：3x－y－3c＝0 F1到直线l的距离为23∴|－3c－3c|32＋－12＝3c＝23∴c＝2∴椭圆C的焦距为4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0直线l的方程为y＝3(x－2)由y＝3x－2x2a2＋y2b2＝1消去x得，(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b2(a2－4)＝0由韦达定理可得y1＋y2＝－43b23a2＋b2①y1·y2＝－3b2a2－43a2＋b2②试题习题，尽在百度百度文库，精选试题 ＝2，∴－y1＝2y2，...
