1/16第七部分常微分方程[填空题]1．微分方程0costanxxyy的通解为xCxycos)(.2．过点)0,21(且满足关系式11arcsin2xyxy的曲线方程为21arcsinxxy.3．微分方程03yyx的通解为221xCCy.4．设)(),(),(321xyxyxy是线性微分方程)()()(xfyxbyxay的三个特解，且Cxyxyxyxy)()()()(1312，则该微分方程的通解为)())()((())()((1132121xyxyxyCxyxyCy.5．设xexyxy22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为xy3，则该微分方程的通解为xeCxCxy2123.6．设出微分方程xexexyyyxx2cos32的一个特解形式)2sin2cos()(*xFxEeeDCxxBAxyxx.7．微分方程xeyyy22的通解为)sincos1(21xCxCeyx.8．微分方程xeyy24的通解为xxexCeCy222141.9．函数xCxCy2sin2cos21满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04yy.10．若连续函数)(xf满足关系式2ln)2()(20xdttfxf，则)(xf2ln2xe.[选择题]11．设曲线积分Lxydyxfydxexfcos)(sin])([与路径无关，其中)(xf具有一阶连续导数，且0)0(f，则)(xf等于[]2/16(A))(21xxee.(B))(21xxee.(C)1)(21xxee.(D))(211xxee.答B注：根据题意，yexfyxfxcos])([cos)(，解得xxCeexf21)(.由0)0(f，得21C，所以)(21)(xxeexf，即选项(B)正确.12．若函数xy2cos是微分方程0)(yxpy的一个特解，则该方程满足初始条件2)0(y的特解为[](A)22cosxy.(B)12cosxy.(C)xycos2.(D)xy2cos2.答D注：根据解的结构，通解为xCy2cos，由2)0(y得2C.故选项(D)正确.其他选项经验证不满足方程或定解条件.13．设函数)(),(21xyxy是微分方程0)(yxpy的两个不同特解，则该方程的通解为[](A)2211yCyCy.(B)21Cyyy.(C))(211yyCyy.(D))(12yyCy.答D注：因为)(),(21xyxy是微分方程0)(yxpy的两个不同特解，所以12yy是该方程的一个非零特解.根据解的结构，其通解为)(12yyCy，即选项(D)正确.另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对.当02y时，选项(B)不对.当12yy时，选项(C)不对.14．已知函数)(xyy在任意点x处的增量)0(),(12yxoxxyy，则)1(y等于[](A)2.(B).(C)4e.(D)4e.3/16答D注：根据微分定义及微分与导数的关系得21xyy，解得Cxyarctanln，由)0(y，得lnC，所以41arctan)1(eey.因此选项(D)正确.15．设函数)(xfy是微分方程042yyy的一个解.若0)(,0)(00xfxf，则函数)(xf在点0x[](A)取到极大值.(B)取到极小值.(C)某个邻域内单调增加.(D)某个邻域内单调减少.答A注：因为0)(0xf，0)(4)(00xfxf，所以选项(A)正确.16.设21,yy是二阶常系数线性齐次方程0qyypy的两个特解，21,CC是两个任意常数，则下列命题中正确的是[]（A）2211yCyC一定是微分方程的通解.（B）2211yCyC不可能是微分方程的通解.（C）2211yCyC是微分方程的解.（D）2211yCyC不是微分方程的解.答C注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误.当21,yy线性相关时，选项（A）错误,当21,yy线性无关时，选项（B）错误.17.微分方程1xeyy的一个特解应具有形式[](A)baex.(B)baxex.(C)bxaex.(D)bxaxex.答B4/16注：相应齐次方程的特征根为1,1，所以xeyy的一个特解形式为xaxe，1yy的一个特解形式为b.根据叠加原理，原方程的一个特解形式为baxex，即选项(B)正确.其他选项经检验不满足方程.18.具有特解xxxeyxeyey3,2,321的三阶线性常系数齐次微分方程是[](A)0yyyy.(B)0yyyy.(C)06116yyyy.(D)022yyyy.答B注：根据题意，1,1是特征方程的两个根，且1是重根，所以特征方程为01)1)(1(232.故所求微分方程为0yyyy，即选项(B)正确.19.设xyeyx21,是三阶线性常系数齐次微分方程0cyybyay的两个特解，则cba,,的值为[](A)0,1,1cba.(B)0,1,1cba.(C)0,0,1cba.(D)0,0,1cba.答C注：根据题意，0,1是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为0)1(232.故原微分方程应为0yy，所以0,0,1cba即选项(C)正确.20.设二阶线性常系数齐次微分方程0yyby的每一个解)(xy都在区间),0(上有界，则实数b的取值范围是[](A)0b.(B)0b.(C)4b.(D)4b.答A注：因为当2b时，xbbxbbeCeCxy24224122)(，所以，当042b5/16时，要想使)(xy在区间),0(上有界，只需要04,0422bbbb，即2b.当042b时，要想使)(xy在区间),0(上有界，只需要42bb与42bb的实部大于等于零，即20b.当2b时，xxxeCeCxy21)(在区间),0(上有界.当2b时...
