数值分析实验报告多项式插值的振荡现象姓名：班级：学号：数值分析实验报告实验名称多项式插值的振荡现象实验时间2013年10月23日姓名班级学号成绩一、实验目的1．理解多项式插值，懂得它的振荡现象。2.研究样条插值，并分析它的收敛性。3.学会在实际生活中使用二维插值。二、实验内容1.设区间[-1,1]上函数22511)(xxf考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为ninixi,,2,1,0,21则拉格朗日插值多项式为niijnxlxxL02)(2511)(其中的nixli,,2,1,0),(是n次拉格朗日插值基函数。2.请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。3.在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。三、算法描述（1）编写好拉格朗日插值函数，保存在M文件中；（2）考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方法可能导致不同的结果。故而n的选择分为n=2:2:8、n=3:2:9或者n=2:4:10、n=3:4:11与n=40三种情况；（3）节点的选取分为均匀节点、切比雪夫节点两种四、程序流程图由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略。五、实验结果具体结果在实验分析里：整理的结果如下1>实验一的结果：1.22511)(xxf当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，但是两端误差较大。当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。2.41)(xxxh当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。3.xxgarctan)(当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。2>实验二的结果通过作图可以发现：插值点数目增加时，三次样条插值光滑度依然很好，而且精度比以前更高，收敛性很好；但是发现lagrange插值却出现偏离，即存在误差，而且随着节点的增加，偏离越明显。由此，可以发现，三次样条插值的收敛性比lagrange插值好。3>思考题结果通过分析计算可知，最高点为：166178该点的高程为：721.098六、实验结果分析1>实验一结果分析首先尝试了一些n值，发现振荡明显，而且还有覆盖现象，由下图可见：-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.500.511.52y=1/(1+25*x2)n=2n=3n=4n=10故针对上述现象，我们可以采用分开讨论测试的方法；（1）22511)(xxf1.节点为均匀节点时：ninixi,,2,1,0,21a)当节点为奇数时，即n=2：2：8，可以得到如下图像-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2y=1/(1+25*x2)n=1n=3n=5n=7从图中可以看到：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；b)当节点为偶数时，即n=3：2：9，可以得到如下图像-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81y=1/(1+25*x2)n=2n=4n=6n=8从图中可以看到：节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。c)当n=40时：-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-20000200040006000800010000120001400016000n=39由图可知：插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。2.当节点为切比雪夫节点时：1,,2,1,)1(2)12(cos22nknkababxk即错误！未找到引用源。，节点是对称的a)当节点为奇数个时，即n=2:2:8时，可以得到：-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6...
