课程设计课程名称：数值计算B设计题目：数值计算B大作业学号：姓名：完成时间：数值计算B大作业题目一：多项式插值某气象观测站在8：00（AM）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。x12345678y22.523.324.421.7025.228.524.825.4二、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x0，y0），⋯⋯（xn，yn），插值多项式有如下形式：）（））（（）（）（）（n10n102010nx-x)(x-xx-xxPxxxxxx（1）其中系数i（i=0,1,2⋯⋯n）为特定系数，可由插值样条iinyxP）（（i=0,1,2⋯⋯n）确定。根据均差的定义，把x看成[a,b]上的一点,可得f(x)=f（0x）+f[10xx，]（0x-x）f[x,0x]=f[10xx，]+f[x,10xx，]（1x-x）⋯⋯f[x,0x，⋯x1-n]=f[x,0x，⋯xn]+f[x,0x，⋯xn](x-xn)综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f(x)=f[0x]+f[10xx，]（0x-x）+f[210xxx，，]（0x-x）（1x-x）+⋯+f[x,0x，⋯xn]（0x-x）⋯(x-x1-n)+f[x,0x，⋯xn,x]）（x1n=Nn（x）+）（xnR其中Nn（x）=f[0x]+f[10xx，]（0x-x）+f[210xxx，，]（0x-x）（1x-x）+⋯+f[x,0x，⋯xn]（0x-x）⋯(x-x1-n)（2））（xnR=f(x)-Nn（x）=f[x,0x，⋯xn,x]）（x1n（3））（x1n=（0x-x）⋯(x-xn)Newton插值的系数i（i=0,1,2⋯⋯n）可以用差商表示。一般有fk[k10xxx，]（k=0,1,2，⋯⋯，n）（4）数值计算B大作业把（4）代入（1）得到满足插值条件N）（）（iinxfx（i=0,1,2，⋯⋯n）的n次Newton插值多项式Nn（x）=f（0x）+f[10xx，]（1x-x）+f[210xxx，，]（1x-x）（2x-x）+⋯⋯+f[n10xxx，]（1x-x）（2x-x）⋯（1-nx-x）.其中插值余项为：）（）！（）（）（）（）（x1nfxN-xfxR1n1nn介于k10xxx，之间。三、程序设计function[y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)%y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，L为多项式%X为给定节点，Y为节点值，x为待求节点n=length(X);m=length(x);%n为X的长度fort=1:mz=x(t);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0;p=1.0;q1=1.0;c1=1.0;forj=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endq1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));fork=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k)=polyval(C,z);%输出y值endL(k,:)=poly2sym(C);%输出多项式>>symsM,X=[1,3,5,7];Y=[22.5,24.4,25.2,24.8];x=10;>>[y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)y=21.7313数值计算B大作业A=22.500000024.40000.95000025.20000.4000-0.1375024.8000-0.2000-0.1500-0.0021C=-0.0021-0.11871.452121.1688L=-x^3/480-(19*x^2)/160+(697*x)/480+3387/160四、结果分析和讨论对于不超过三次的插值多项式，x如果选取1,3,5,7这三个点能够得到较好的三次插值多项式L=-0.0021x^3-0.1187x^2+1.4521x+21.1688。当x=10时，也即9点30分时的温度为21.7317度，结果分析知此值应是偏小的。对于选取不同的插值节点，能够得到不同的插值多项式，误差也不尽相同。五、完成题目的体会与收获牛顿插值法的重要一点就是对插值节点的选取，通过本题的编程很好的加深了对其概念的理解以及提高了应用牛顿插值法的能力，学会了运用Matlab软件对牛顿插值法相关问题进行编程求解，对Matlab计算方法与程序编辑更加熟悉。使我对这类问题的理解有了很大的提升。数值计算B大作业题目二：曲线拟合在某钢铁厂冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试用最小二乘法拟合含碳量与时间t的拟合曲线，并绘制曲线拟合图形。t(分)05101520253035404550554(10)y01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64二、数学原理从整体上考虑近似函数)(xp同所给数据点),(iiyx(i=0,1,⋯,m)误差iiiyxpr)((i=0,1,⋯,m)的方法有以下三种：一是误差iiiyxpr)((i=0,1,⋯,m)绝对值的最大值imir0max，即误差向量Tmrrrr),,(10的∞—范数；二是误差绝对值的和miir0，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和miir02的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用...
