1数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一利用重要不等式放缩1.均值不等式法例1设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn解析此数列的通项为.,,2,1,)1(nkkkak2121)1(kkkkkk，)21(11nknnkkSk，即.2)1(22)1(2)1(2nnnnSnnn注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab，若放成1)1(kkk则得2)1(2)3)(1()1(21nnnkSnkn，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里naanaaaaaannnnnn22111111其中，3,2n等的各式及其变式公式均可供选用。例2已知函数bxaxf211)(，若54)1(f，且)(xf在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1nnnfff（02年全国联赛山东预赛题）简析)2211()()1()0(22114111414)(nffxxfxxxx.2121)21211(41)2211()2211(112nnnnn例3已知ba,为正数，且111ba，试证：对每一个Nn，1222)(nnnnnbaba.（88年全国联赛题）简析由111ba得baab，又42)11)((abbababa，故4baab，而nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(，令nnnbabanf)()(，则)(nf=1111nnnrrnrnnnabCbaCbaC，因为inninCC，倒序相加得)(2nf=)()()(111111baabCbabaCabbaCnnnnrnrrrnrnnnn，而1211112422nnnnnnrnrrrnnnbabaabbabaabba，则)(2nf=))(22())((11rrnrnrnrrnrnrnnrnnbabababaCCC)22(n12n，所以)(nf)22(nn2，即对每一个Nn，1222)(nnnnnbaba.2例4求证),1(221321NnnnCCCCnnnnnn.简析不等式左边nnnnnCCCC32112222112nnnnn122221=212nn，原结论成立.2．利用有用结论例5求证.12)1211()511)(311)(11(nn简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质)0,0(mabmambab可得122563412nnnn212674523)12(212654321nnn12)122563412(2nnn即.12)1211()511)(311)(11(nn法2利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(xxnNnnxxn的一个特例12121)1211(2kk(此处121,2kxn)得)1211(121212111kkkknk.1212121nkknk注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明.13)2311()711)(411)(11(3nn(可考虑用贝努利不等式3n的特例)例6已知函数.2,,10,)1(321lg)(nNnannanxfxxxx给定求证：)0)((2)2(xxfxf对任意Nn且2n恒成立。（90年全国卷压轴题）简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式niiniiniiibaba121221])([的简捷证法：)(2)2(xfxfnnanxxxx2222)1(321lgnnanxxxx)1(321lg22])1(321[xxxxnan])1(321[2222xxxxnann而由Cauchy不等式得2))1(1312111(xxxxnan)11(22])1(321[22222xxxxnan(0x时取等号)])1(321[2222xxxxnann（10a），得证！例7已知112111,(1).2nnnaaann)(I用数学归纳法证明2(2)nan；)(II对ln(1)xx对0x都成立，证明2nae（无理数2.71828e）（05年辽宁卷第22题）解析)(II结合第)(I问结论及所给题设条件ln(1)xx（0x）的结构特征，可得放缩思路：nnnanna)2111(21nnnannaln)2111ln(ln21nnnna211ln2。于是nnnnnaa211lnln21，3.22112211)21(111lnln)211()ln(ln11211111nnniniiininnaaiiaa即.2lnln21eaaann注：题目所给条件ln(1)xx（0x）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2nnnn来放缩：)1(1))1(11(1nnannann)1)()1(11(11nnanna.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1nnnnaann111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112naaiiaanniiini，即.133ln1)1ln(2eeaann例8已知不等式].[log2,],[log211312122nnNnnn表示不超过n2log的最大整数。设正数数列}{na满足：.2,),0(111nannaabbannn求证.3,][log222nnbban（05年湖北卷第（22）题）简析当2n时naaanaannaannnnnnn11111111，即naann1111.1)11(212kaankkknk于是当3n时有][log211121naan.][log222nbban注：①本题涉及的和式n13121为调和级数，是发散的，不能求和...
