1方型烤箱上平底锅最优设计摘要本文建立了基于不同形状下平底锅的热量分布模型，然后计算出它们的热平均度并结合各种形状的平底锅与烤箱本身的搭配是否能实现最大的利用率，从而选择出最优的平底锅形状。模型主要涉及的数学软件有EXCEL、MATLAB。对于问题一的研究，我们根据热学的基本理论，考虑到热传递可以分成热辐射、热传导和热对流这三种形式，因此这里我们对热传递的每种方式分开考虑，然后分别给出热量分布模型。通过MATLAB里的PDEToolbox，我们模拟出了不同形状的平底锅在烤箱内的热量分布情况，并根据所模拟出来的热量分布图进行图像变化分析以及图中数据的提取，接着又对所得的数据进行更深层次的分析，从而得出正多边形的平底锅随着边数的递增，温度方差会渐渐地变小，热量分布也会逐渐趋于均匀的结论。而对于问题二，首先根据问题一的模型，可以直接得到不同形状下平底锅热平均度的结果，然后再根据题目给出的方形烤箱的宽长比，我们计算出各种平底锅在该烤箱内能够摆放的最大数量。虽然平底锅的面积恒定，但由于形状的差异而造成了在烤箱内的空间利用率有所不同，摆放的数量也会因此而产生变化，因此在这一过程中我们对摆放方式展开了分类讨论，同时还对个别正多边形存在的多种排列方式也进行了详细的讨论。基于前面的过程，再通过层次分析法，将平底锅的热平均度和在烤箱内的摆放数量这两个因素作为准则层构造判断矩阵，计算出每种平底锅的权重值，最后依据权重的大小选择出平底锅最好的形状是正六边形。针对问题三，根据问题一和问题二的结果，结合平底锅的热平均度和烤箱的空间利用率这两个影响因素，选出最优的平底锅形状为正六边形，然后对我们的模型结果进行推广，设计了一份关于正六边形平底锅的宣传广告。最后，对模型进行误差分析，提出了模型优化的方向。此外，文中第二问中构造的层次分析模型均进行了一致性检验，保证了结果的准确性。关键词：热传递；热平均度；层次分析法2一、问题重述在一个方形的大烤箱上，放上多个平底锅。如果这些平底锅是方形的，那在烤饼时，热量会集中在四个角上，导致食物的四个角先被烤焦，而同时边上因受热不足却没熟透。如果这些平底锅是圆形的，则整个边沿受热都会均衡，烤的效果会很理想。但是，现行使用的大部分的烤箱都是方形的，用圆形平底锅在烤箱内烤东西的话空间利用率会很低。因此，考虑以下几个问题并建立数学模型解决它们。问题一：建立一个模型，分析不同形状的平底锅，例如圆形、方形或者圆跟方之间其他的任意变形，烤东西时的热量分布情况。问题二：在以下条件下，建立一个模型来选择最好的平底锅形状：条件1.能在烤箱上放最多的平底锅；条件2.使热量分布的均匀程度最大化；条件3.最好地结合条件1和条件2，假设两条件分别占权重记为p和1p，请分析最优选择结果是如何随烤箱的宽长比lw及权重p的变化而变化的。问题三：以美食杂志社身份设计宣传广告，并说明设计理念和结果。二、问题分析问题一属于经典的热传递问题，根据热学的基本理论，热传递主要有3种方式：热辐射、热传导和热对流。对于解决此类问题一般用MATLAB软件PDE工具箱进行求解，这里我们可以对热传递的每种方式分开考虑，然后分别给出热量分布模型。对于问题二，在问题一的模型基础上，可以先对不同形状的平底锅在烤箱内的热量分布情况进行简化，得到它们边缘热量的热平均度，然后将结果呈现出来。接着再对不同形状下的平底锅在烤箱内能够摆放的数量进行建模，可以通过简化模型的一些条件来达到模型的普遍适用性。由于需要确定最好的平底锅形状是受热平均度和摆放数量这两个条件限制的，基于前面的过程，我们可以再通过层次分析法对于如何选择最好形状的平底锅这一问题进行深入的研究。经过问题一和问题二的建模过程，考虑选择何种形状的平底锅是最合适的，然后给出设计思路和原因。3三、基本假设假设一：烤箱是一个宽长之比值为lw的方形烤箱；假设二：每个平底锅的面积都相同，记为s，且面积不随形状的变化而变化；假设三：左右两个底座架子水平地支撑着大型烤箱，烤箱面板的各处受热均匀；假设四：锅的材料是均匀和出现物理学各向同性；假设五：...
