数学物理方法总结归纳改VIP免费

数学物理方法总结第一章复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cossin)z和ize欧拉公式:{1sin()21cos()2izizizizzeeizee柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{uuxyvvxy(其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv在点0z及其领域上处处可导,则称f(z)在0z点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则12(,),(,)uxyCvxyC(12,CC为常数)是B上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即22220uvxy例题:已知某解析函数f(z)的实部22(,)uxyxy,求虚部和这个解析函数.解答:由于22ux=2;22vy=-2;则22220uvxy曲线积分法ux=2x;uy=-2y.根据C-R条件有:vx=2y;vy=2x.于是22dvydxxdy;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22xxyxxyxyxvydxxdyCydxxdyydxxdyCxdyCxyC凑全微分显式法由上式可知22dvydxxdy则易得(2)dvdxy则显然2vxyC不定积分法上面已有vx=2y;vy=2x则第一式对y积分,x视为参数,有2()2()vxyxxyx.上式对x求导有2'()vyxx,而由C-R条件可知'()0x,从而()xC.故v=2xy+C.222()(2)fzxyixyCziC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析,则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B的边界),有()0lfzdz?.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inllifzdzfzdz蜒.式中l为区域外边界线,诸il为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inllifzdzfzdzii.柯西公式1()()2lfzfdziz?n次求导后的柯西公式()1!()()2()nnlnffzdiz?第三章幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz其中0a,1a,2a,3a,⋯⋯都是复常数.比值判别法(达朗贝尔判别法)1.若有110100limlim1kkkkkkkkazzazzaazz则2010200............kkaazzazzazz收敛,200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz绝对收敛.若极限1lim/kkkaa存在,则可引入记号R,1limkkkaRa,于是,若0zzR,则200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz绝对收敛.2.若0zzR,则后项与前项的模之比的极限11010limlim1kkkkkkkkazzaRaazz,即说明200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz发散.例题:求幂级数2461.....zzz的收敛圆,z为复变数.解答:由题意可得1lim1kkkaRa故246211......1zzzz(1z).泰勒级数展开设f(z)在以0z为圆心的圆RC内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数,00()()kkkfzazz,其中1()010()1()2()!RnkkCfzfadizk?,1RC为圆RC内包含z且与RC同心的圆.例题:在00z的领域上将()zfze展开解答:函数()zfze的各阶导数()()nzfze,而()()0()(0)1kkfzf.则ze在00z的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!kkzkzzzzzzekk.双边幂级数212010010220......()()()()......azzazzaazzazz洛朗级数展开设f(z)在环形区域201RzzR的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkkfzazz.其中101()2()kkCfadizi,积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1:在1z的环域上将2()1/(1)fzz展为洛朗级数.解答:22222460211111111......111kkzzzzzzzz例题2:在01z的领域上将2()1/(1)fzz展为洛朗级数.解答:由题意得21111()()1211fzzzz则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kkkzzzz(12z)故01111()(1)()2142kkkzfzz.第四章留数定理留数定理设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点1b,2b,⋯⋯,nb解析,在闭区域B上除1b,2b,⋯⋯,nb外连续,则11()2Re()2njljfzdzisfbia?.其中,1111Re()lim{[()()]}(1)!jmmjjmzbdasfbzbfzmdz.推论1:单极点的留数为000Re()lim[()()]zzsfzzzfz.推论2:若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z点解析,0z是Q(z)的一阶零点(0()0Qz).0()0Pz,则0000000()()'()()()Re()lim()lim()'()'()zzzzPzzzPzPzPzsfzzzQzQzQz.上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用类型一20(cos,sin)Rxxdx.作自变量代换ixze.则式子变为111(,)22zzzzzdzIRiz?.例题:计算202cosdxIx.解答:21201122cos41(2)2zzdxdzdzIiizzxzzz蜒,Z的单极点为1,24164232z.则2231Re(23)2lim(23)413zisizzz,由于23不在圆1z内.故23I.类型二()fxdx.积分区间是(,);复...