第三讲圆锥曲线性质的探讨第三讲圆锥曲线性质的探讨第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨新知初探思维启动1．正射影的概念给定一个平面α，从一点A作平面α的______，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的_______．一个图形上各点在平面α上的_______所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交，称_____________为投影方向，过点A作_________的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称______为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的_________所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．垂线正射影正射影直线l的方向平行于l点A′平行射影栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨3．椭圆的定义平面上到两个定点的___________等于______的点的轨迹叫做椭圆．4．两个定理定理1：圆柱形物体的斜截口是_____．定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为_____；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为_______；(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为_______．距离之和定长椭圆椭圆抛物线双曲线栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨典题例证技法归纳考点突破考点一正射影的应用P为△ABC外一点且PA＝PB＝PC.求证：P在面ABC内的射影为△ABC的外心．例1栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨【证明】如图，过P作PO⊥面ABC于O，连接OA、OB、OC，则O为P在面ABC内的射影． PA＝PB，PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO，∴AO＝BO，同理BO＝CO，∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心，即P在面ABC内的射影是△ABC的外心．【名师点评】确定一个几何图形的正投影，其实质是确定其边界点的正投影的位置．在解决此类问题时，一定要全面考虑，否则极易出错．栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨跟踪训练1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的()栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨解析：选A.已知实物模型找其正射影，可先根据投影面确定投影光线，然后找到关键点的正射影．求阴影部分在平面ADD1A1上的正射影，则投影光线与面ADD1A1垂直，显然点D的正射影为点D，点N的正射影为边AD的中点，点M的正射影为边A1A的中点，故选A.栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨考点二圆锥曲线的性质如图所示，AB、CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．例2栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨【解】如图，设⊙O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴Rl＝22，∴sin∠BVO＝22.∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝π4.连接OE， O、E分别是AB、VB的中点，∴OE∥VA.栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝π4，∴∠VEO＝π2，即VE⊥OE.又 AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，∴CD⊥平面VAB， VE⊂平面VAB，∴VE⊥CD.又 OE∩CD＝O，VE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴∠VOE是截面与轴线的夹角，∴截面轴线夹角大小为π4.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线．栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨【名师点评】平面与圆锥面的截线的形状判断：(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴的夹角β；(2)判断α与β的大小关系；(3)根据定理2判断截线是什么曲线．栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨跟踪训练2．一个圆柱被一个平面所截，截口是一个椭圆，如果椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为3，被截后的几何体的体积为多少？栏目导引第三讲圆锥曲线性质的探讨解：椭圆的短轴长为4，所以圆柱的直径为4，椭圆的长轴长为5，如图，经过截面最底部与水平面相切的点的圆柱的直径与椭圆长轴构成一个直角三角形的较长直角边和斜边，通过勾股定理得三角形...
