第九节直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[小题体验]1．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________．解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝kx与双曲线相交，数形结合得k∈.答案：2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析：由题意得解得所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝13．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA·OB等于________．解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，所以OA·OB＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－.故OA·OB的值为－.答案：－1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[小题纠偏]1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：32．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点有_______个．解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：1[典例引领]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．解：(1)由题意可知解得a＝，b＝.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意可知直线l的斜率存在．设其方程为y＝k(x－2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(－x3，－y3)，由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，所以x1＋x2＝，则y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝，所以AB的中点D的坐标为，因此直线OD的方程为x＋3ky＝0(k≠0)．由解得y＝，x3＝－3ky3.因为四边形MF1NF2为矩形，所以F2M·F2N＝0，即(x3－2，y3)·(－x3－2，－y3)＝0，所以4－x－y＝0.所以4－＝0.解得k＝±.故直线l的方程为y＝±(x－2)．[由题悟法]1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．[即时应用](2019·泰州中学高三学情调研)已知椭圆的离心率为，焦距为2，直线y＝kx(x≠0)与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在常数λ，使得k1＝λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由椭圆的焦距2c＝2，得...
