高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：；向量在轴上的正射影、向量在轴方向上的数量：；向量的模（或向量的长度）：；（二）向量的基本运算：1.向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：（1）向量求和的三角形法则：；（2）向量求和的平行四边形法则：；（3）向量求和的多边形法则：；（4）向量减法法则：；结论１在ΔABC中⃗AB+⃗BC=⃗AC（加）或⃗AC−⃗AB=⃗BC（减）称ΔABC为向量三角形；推广可有⃗A1A2+⃗A2A3+⋯+⃗AnA1=⃗0，称A1A2⋯AnA1为封闭折线．（5）数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作；其长为；其方向为：；数乘向量的几何意义是：；向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律：;(2)加法结合律：；数乘向量满足下列运算律：（1）（2）（3）。如：①在平行四边形ABCD中,已知⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b,⃗DM=13⃗DO,⃗ON=13⃗OC,试用⃗a,⃗b表示.②如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．2.向量共线的条件：结论2（平行向量基本定理）向量⃗a与⃗b(≠⃗0)平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数λ使⃗a=λ⃗b．特别地，三点A、B、C共线⇔．3.轴上向量的坐标及其运算：已知轴，取单位向量，对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得，我们称x为向量在轴上的坐标（或数量）。设是轴的一个基向量，向量的坐标为AB，则；若轴为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量的坐标AB=。4.向量的分解：结论3（平面向量基本定理）设⃗a,⃗b是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量⃗c，存在唯一实数λ,μ使⃗c=λ⃗a+μ⃗b．这里称为向量⃗c关于基底的分解式。特别地若λ+μ=1，则有①⃗OC=11+t⃗OA+t1+t⃗OB(t=ACCB)称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；②⃗OC=12(⃗OA+⃗OB)称为中点向量式（C为AB中点）．上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2∶1的两条线段。②求证ΔABC三条高AD、BE、CF相交于一点．5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若是一组单位正交基底，则称是向量⃗c在基底下的坐标，记作。（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设，则有：；；；；6.向量的数量积：结论4两个向量的数量积为⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ，其中θ=⟨⃗a,⃗b⟩为两个向量的夹角，其范围为．数量积有如下性质：①；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据；②夹角公式；（坐标形式）③⃗a2=⃗a⋅⃗a=|⃗a|2即（用于求模）；④；（坐标形式）⑤（某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律：；（2）数乘律：；（3）分配律：。（请给出证明）注意：不满足消去律：推不出结论，举例：。如：①已知平面上直线l的方向向量=(-45,35)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为O'和A'，且⃗O'A'=λ，其中λ=（）A．115B．-115C．2D．-2②模公式⃗a2=⃗a⋅⃗a=|⃗a|2的应用举例：（1）求证:|⃗a+⃗b|2+|⃗a−⃗b|2=2(|⃗a|2+|⃗b|2)，其几何意义是。（2）若|⃗a|=|⃗b|=|⃗a−⃗b|=3,则⃗a⋅⃗b=（3）已知⃗|a|=2,|⃗b|=3,|⃗a−⃗b|=√7,则⃗a与⃗b的夹角为（4）已知⃗a,⃗b,⃗c中每两个向量夹角都为120∘且|⃗a|=4,|⃗b|=6,|⃗c|=2,求|⃗a+⃗b+⃗c|值.7.直线的方向向量，法向量，若再已知定点，而且点，是单位法向量，则点P到直线的距离公式为：。（向量形式）8.结论５：||⃗a|−|⃗b||≤|⃗a±⃗b|≤|⃗a|+|⃗b|，称为向量三角形不等式．（三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G，有重心公式：坐标G(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)，并有性质⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0；2.关于垂心H，有性质⃗HA⋅⃗HB=⃗HB⋅⃗HC=⃗HC⋅⃗HA；3.关于外心O，有性质|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|；结论：O、H、G三点共线且⃗OH=3⃗OG；此线称为欧拉（Euler）线。（如何证明？）4.关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如⃗AI=λ(⃗AB|⃗AB|+⃗AC|⃗AC|)。如：①...
