§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①____________________；②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．2．三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：x函数sinxcosxtanx－α－sinαcosα－tanα±α∓cotα※π±α±α∓cotα※2π±α(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：――――――――――→――――→――――――――→3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系(sinα＋cosα)2＝________________；(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝____________；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝___________.自查自纠1．(1)①sin2α＋cos2α＝1②＝tanα2．(1)x函数sinxcosxtanx－α－sinαcosα－tanα±αcosα∓sinα∓cotα※π±α∓sinα－cosα±tanα±α－cosα±sinα∓cotα※2π±α±sinαcosα±tanα(2)不变锐角象限(3)锐角3．1＋sin2α1－sin2α22sin2α()已知α为第二象限角，且sinα＝，则tan(π＋α)的值是()A.B.C．－D．－解： α为第二象限角，∴cosα＝－＝－，∴tan(π＋α)＝tanα＝＝－.故选D.()设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b解： a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°，∴c＞b＞a.故选C.()若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋B．1－C．1±D．－1－解：由题意知sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴＝1＋，解得m＝1±.又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.故选B.已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值是________．解： ＜α＜，∴sinα＞cosα. 1－2sinαcosα＝(cosα－sinα)2＝，∴cosα－sinα＝－.故填－.()已知△ABC中，tanA＝－，则cosA＝________．解：在△ABC中，由tanA＝－<0知∠A为钝角，∴cosA<0，1＋tan2A＝＝＝，得cosA＝－.故填－.类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)已知sinα＝，且α为第二象限角，求tanα；(2)已知sinα＝，求tanα；(3)已知sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求tanα.解：(1) sinα＝，且α是第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－.∴tanα＝＝－.(2) sinα＝，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝＝＝，∴tanα＝＝；当α是第二象限角时，tanα＝－.(3) sinα＝m(m≠0，m≠±1)，∴cosα＝±＝±(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tanα＝；当α为第二、三象限角时，tanα＝－.【点拨】解题时要注意角的取值范围，分类讨论，正确判断函数值的符号．(1)设sin＝，且α是第二象限角，则tan的值为________．解： α是第二象限角，∴是第一或第三象限角．①当是第一象限角时，有cos＝＝＝，∴tan＝＝；②当是第三象限角时，与sin＝矛盾，舍去．综上，tan＝.故填.(2)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝________.解法一：由得2cos2α＋2cosα＋1＝0，即(cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，tanα＝tan＝－1.解法二： sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝2，得sin2α＝－1. α∈(0，π)，∴2α∈...
