专题三二次函数在闭区间上的最值数一、问题的提出【2017课标II，理14】函数（）的最大值是。二次函数是中学阶段研究最深入、最完备的一类函数,虽然是初中所学内容,却一直是高考与各类数学竞赛中的热点与难点,很多创新试题都是以二次函数为载体命制的.尤其是二次函数在闭区间上的最值,是二次函数中难度较大且考查频率较高的一个知识点,本专题对此作一些探讨.二、问题的探源【点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；求解二次函数在闭区间上的最值问题,解题的关键都是抓住“三点一轴”,“三点”即区间两端点与区间中点,“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”,只不过讨论要复杂一些而已．2.对于“动轴定区间”问题,一般分两大类：①若轴在区间左边或右边,则直接依单调性可解；②若轴在区间中,则最值在顶点及区间端点取得(有时需要比较区间端点的函数值,从而进行二次分类)．．3.函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；设,则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：即图象最大、最小值对于开口向下的情况,讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论：（1）若,则,；（2）若,则,当对称轴位于区间之间时,考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右边,往往通过比较对称轴与区间中点的大小来判断.另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越大；反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越小.三、问题的佐证(一)对称轴定,区间动【例1】已知函数,则函数在上的最大值为.【解析】,令有,令有,所以函数在为减函数,在上为增函数.故函数在上的最大值为或,而,.故最大值为.【例2】求函数在区间上的最值.【解析】对称轴（1）当即时,,；（2）当即时,,当时,,当时,；（3）当即时,,【例3】【2015高考浙江】已知函数，记是在区间上的最大值.证明：（1）当时，；（2）当，满足，求的最大值.解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，∴，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题，以二次函数或指对函数为背景的函数综合题是今年数学考试说明调整之后的热点题型，创新题，亮点问题常源于此，通常会结合函数与方程，不等式，化归，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识点，综合考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注.(二)区间定,对称轴动【例4】已知二次函数f(x)＝x2－2tx＋2t＋1,x∈[－1,2]．若f(x)≥－1恒成立,求t的取值范围．【解析】①若t＜－1,要使f(x)≥－1恒成立,只需f(－1)≥－1,即4t＋2≥－1,则t≥－,这与t＜－1矛盾．②若－1≤t≤2,要使f(x)≥－1恒成立,只需f(t)≥－1,即－t2＋2t＋1≥－1,则1－≤t≤1＋,∴1－≤t≤2.③若t＞2,要使f(x)≥－1恒成立,只需f(2)≥－1,即－2t＋5≥－1,∴2＜t≤3.综上所述,t的取值范围是[1－,3]．【例5】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值g(a)．【解析】(1)当a＝0时,f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减,∴g(a)＝f(x)min＝f(1)＝－2.(2)当a>0时,f(x)＝ax2－2x的图象开口方向向上,且其对称轴为x＝.①当0＜≤1,即a≥1时,f(x)＝ax2－2x的图象对称轴在[0,1]内,∴f(x)在上单调递减,在上单调递增．∴g(a)＝f(x)min＝f＝－＝－.②>1,即0
