巧构正方体速解高考题张元涛范凤萍一、将正四面体补成正方体例1（2006年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为（）A.B.C.D.解析：根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体，且棱长为1。以此正四面体来构造正方体，使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线，如图2。则正方体的棱长为，正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为。又正方体的外接球也为正四面体的外接球，所以外接球的半径为。所以，故选C。二、将三棱锥补成正方体例2（2006年全国I卷）如图3，l1、l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在l1上，AM=MB=MN。（I）证明AC⊥NB；（II）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。解析：（I）证明略。用心爱心专心115号编辑1（II）由（I）及∠ACB=60°，可知NA、NB、NC两两垂直且相等，故可将三棱锥C—ABN补成正方体NASB—CQPR，如图4所示。连结PN，由RN⊥BC，知PN⊥BC。同理，PN⊥AC。所以PN⊥平面ABC。设垂足为O，则∠OBN就是NB与平面ABC所成角。设正方体棱长为1，则由sin∠OBN，得cos∠OBN=三、将三棱柱补成正方体例3（2006年全国II卷）如图5，在直三棱柱中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点。（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设AA1=AC=，求二面角A1—AD—C1的大小。解析：（1）证明略。（2）由题设AA1=AC=，可知为正方形，∠ABC=90°。将棱柱补成正方体，如图6所示。易知所求二面角恰是二面角的一半。作正方体的截面。由图知，，所以。同理，。于是∠是二面角的平面角的补角。而△是正三角形，∠=60°，故二面角为120°，从而二面角是60°。四、由共点且两两垂直的三条相等线段构造正方体用心爱心专心115号编辑2例4（2001年高考题）如图7，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90o，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。（I）求四棱锥S—ABCD的体积；（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。解析：延长AD到E，使DE=AD，以AE、AB、AS为棱构造正方体，如图8所示。则有：图8（I）（II）延长CD、BA相交于F，连结SF，易知SF//AB'。又可知AB'⊥面CBS，所以SF⊥面SBC，故∠BSC为面SCD与面SBA所成的角。在直角△SBC中，SB=从而tan∠BSC=五、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体例5（2002年高考题）如图9，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0
