第二讲导数掌握核心,赢在课堂1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:f'(x)>0,f(x)单调递增,f'(x)<0,f(x)单调递减.极小值点附近函数应有先减后增的特点,即f'(x)<0→f'(x)=0→f'(x)>0,由f'(x)的图象可知只有1个极小值点.答案:A2.直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b的值为()A.-3B.9C.-15D.-7解析:将点(2,3)分别代入曲线y=x3+ax+1和直线y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.又k=y'|x=2=(3x2-3)|x=2=9,故b=3-2k=3-18=-15.答案:C3.函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在极值点,则实数a的取值范围是()A.[1,3]B.[1,3)C.(1,3]D.(1,3)解析: a2-1>0,∴a>1或a<-1.又 函数f(x)不存在极值点,令f'(x)=3ax2-4ax+a+1=0,则Δ=16a2-4×3a(a+1)=4a(a-3)≤0.∴0≤a≤3.又 a>1或a<-1,∴1
fD.0,∴'=>0,∴函数上单调递增,从而,即0.所以M=max{f(0),f(k)}=max{-1,(k-1)ek-k3}.令h(k)=(k-1)ek-k3+1,则h'(k)=k(ek-3k),令φ(k)=ek-3k,则φ'(k)=ek-3≤e-3<0.所以φ(k)在上单调递减,而φ·φ(1)=(e-3)<0,所以存在x0∈使得φ(x0)=0,且当k∈时,φ(k)>0,当k∈(x0,1)时,φ(k)<0,所以φ(k)在上单调递增,在(x0,1)上单调递减.因为h=->0,h(1)=0,所以h(k)≥0在上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.综上,函数f(x)在[0,k]上的最大值M=(k-1)ek-k3.10.(2014广东高考,文21)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.解:(1)由f(x)=x3+x2+ax+1,求导得f'(x)=x2+2x+a.令f'(x)=0,即x2+2x+a=0,Δ=4-4a.①当Δ≤0,即a≥1时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增;②当Δ>0,即a<1时,方程x2+2x+a=0的两根分别为:x1=-1+,x2=-1-,当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)当a<0时,由(1),令x1=-1+=1,解得a=-3.①当a<-3时,1<-1+,由(1)的讨论可知f(x)在(0,1)上单调递减,此时不存在x0∈,使得f(x0)=f.②当-3-1+,f(x)在(0,-1+...
