排列、组合应用题的关键点剖析刘长柏分类计数原理与分步计数原理是解答排列、组合应用题的基础，解答排列、组合应用题必须掌握常规的思路：（1）整体分类，不重不漏；（2）局部分步，确保连续性和独立性；（3）观察顺序；（4）辩证地看待“元素”与“位置”。构建思维模式，注意加强发散思维与逆向思维的训练，通过分类、分步把复杂问题分解，运用集合思想、整体思想、化归思想、分类讨论思想和模型化思想，使问题简单化。下面就排列、组合应用题的关键点作简要剖析。一.分类与分步例1.将9封信分别投入4个邮筒，不同的投法有（）种。A.94B.49C.A94D.C94解：从每封信投入邮筒的可能性考虑，第1封信有4种可能，第2封信仍有4种可能，同理，第9封信还有4种可能，由分步计数原理可知，共有49种不同的投法。评注：本题把信投入邮筒，故只需考虑每封信的投入方法，再根据分步计数原理求解。例2.某艺术组有9人，每人至少会弹钢琴或吹小号，其中7人会弹钢琴，3人会吹小号，从中选出会弹钢琴和会吹小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意知，在艺术组9人中，有且仅有1人既会弹钢琴又会吹小号（称为“多面手”），只会弹钢琴的有6人，只会吹小号的有2人。因此，选法可分为两类：（1）“多面手”入选，则有8种选法；（2）“多面手”不入选，则选法有6212（种）。因此不同的选法，共有8+6×2=20（种）评注：像本题中的“多面手”可称为特殊“对象”，在解题中对“特殊对象”进行“两分法分类”是常用的方法，要注意分类的独立性。在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又要会合理分步，一般情况下是先分类，后分步。二.有序与无序区分排列与组合问题的唯一标准是“是否有序”，有序是排列问题，无序则是组合问题。排列与组合并存时，先组合后排列。同学们要进一步深化对分类计数原理与分步计数原理的认识，培养整体分类与局部分步的意识。例3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在3块不同的土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有（）A.24种B.18种C.12种D.6种解：由题意知黄瓜必须种植，故只需先从其他3种蔬菜品种中选出2种，再种植在3块不同的土地上，因此有CA323318（种），故选B。评注：本题是排列与组合混合题，故可先组合后排列。三.元素与位置辩证地看待元素与位置的关系，优先安排有限制条件的特殊元素和特殊位置，灵活运用“捆绑法”、“插空法”、“直接法”和“间接法”。例4.有5名男选手和6名女选手举行混合双打比赛，共有多少场不同的比赛？解：（1）分析位置：从5名男选手中选1名，从6名女选手中选1名组成1对，再从剩下的4用心爱心专心115号编辑1名男选手中选1名，从剩下的5名女选手中选1名组成另1对，共有CCCC51614151种取法，在这些取法中，每2对选手对应一场比赛，故有1251614151CCCC种取法，在这些取法中，每2对选手对应一场比赛，故有1230051614151CCCC（场）。（2）分析元素：从5名男选手中取2名，从6名女选手中取2名，共有CC5262，在选出的4名选手中，有2场比赛，因此共有23005262CC（场）。用心爱心专心115号编辑2
