高三第四次月考数学（理）考试试卷一．选择题（每题只有一个正确的选项，每个选项5分，共60分）1．设全集，集合，，则（）A.B.C.D.2．设，则（）A.2iB.2C.0D.1+i3．“”是“函数在区间内单调递减”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．已知向量.若,则实数（）A.B.C.D.5．在中，若，，则（）A.1B.C.D.6．在长方体中，已知，，，若长方体的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）．A.B.C.D.7．已知成等差数列，成等比数列，则的值是（）A.B.C.或D.8．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是()A.(－2，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)9．已知函数，为得到函数的图象，可以将的图象（）A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度10．若、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则11．已知正实数a，b满足，则的最小值（）A.1B.C.D.12．如下图在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为（）.A.B.C.D.二、填空题（每题5分，共20分）13．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为14.均为锐角，，则=_______.15．已知实数满足不等式组若的最大值为1，则正数的值为16.设向量满足,，，则的最大值等于3．解答题（共70分）17.（10分）已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．18.（12分）在中，内角所对的边分别为，已知．求B；若，求的面积．19.（12分）已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；若，设数列的前n项和为，证明．20.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．求证：平面ABM；求直线PC与平面ABM所成的角的正切．21.（12分）如图，在直三棱柱中，是BC中点．求证：平面；在棱上存在一点M，满足，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．22.（12分）设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ记过函数两个极值点的直线的斜率为，问函数是否存在零点，请说明理由．高三第四次月考数学（理）考试试卷答案1．选择题：（每题5分共60分）1.A2.B3.B4.C5.D6.D7.A8.C9.A10.D11.C12.A二：填空题：（每题5分共20分）13.14.15.416.4三：解答题：17.（10分）解：（Ⅰ）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：a2=2．∴a1==1．∴数列{an}的通项公式为an=2n-1．（Ⅱ）bn=an+log2an+1=2n-1+n，Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）==．18.（12分）解：（1）根据题意，atanB=2bsinAa⇒=2bsinAasinB=2bsinAcosB⇒，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，变形可得2cosB=1，即cosB=，又由0＜B＜π，故B=，（2）由（1）可得：B=，则C=π--=，由正弦定理=，可得c=×sinC=，S△ABC=bcsinA=×××=．19.（12分）解：（1）当n=1时，得a1=1，当n≥2时，得an=3an-1，所以，（2）由（1）得：，又①得②两式相减得：，故，所以Tn=-．20.(12分）证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD．因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，AD∩PA=A，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，AB∩BM=B，因此有PD⊥平面ABM．（2）解：设平面ABM与PC交于点N，因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，由（1）知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD，tan．故直线PC与平面ABM所成的角的正切值为2．21.(12分）证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO， ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B， EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则=（-2，0，m-2），=（1，-1，-2）， B1M⊥C1E，∴=-2-2（m-2）=0，解得m=1，...
