高三第四次月考数学(理)考试试卷一.选择题(每题只有一个正确的选项,每个选项5分,共60分)1.设全集,集合,,则()A.B.C.D.2.设,则()A.2iB.2C.0D.1+i3.“”是“函数在区间内单调递减”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量.若,则实数()A.B.C.D.5.在中,若,,则()A.1B.C.D.6.在长方体中,已知,,,若长方体的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为().A.B.C.D.7.已知成等差数列,成等比数列,则的值是()A.B.C.或D.8.函数f(x)=3x+x-2的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)9.已知函数,为得到函数的图象,可以将的图象()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度10.若、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是()A.若,则B.若,则C.若则D.若,则11.已知正实数a,b满足,则的最小值()A.1B.C.D.12.如下图在直三棱柱中,,,已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点(不包括端点),若,则线段长度的取值范围为().A.B.C.D.二、填空题(每题5分,共20分)13.一水平放置的平面图形,用斜二测画法画出了它的直观图,此直观图恰好是一个边长为的正方形,则原平面图形的面积为14.均为锐角,,则=_______.15.已知实数满足不等式组若的最大值为1,则正数的值为16.设向量满足,,,则的最大值等于3.解答题(共70分)17.(10分)已知数列是公比为2的等比数列,且成等差数列.求数列的通项公式;记,求数列的前n项和.18.(12分)在中,内角所对的边分别为,已知.求B;若,求的面积.19.(12分)已知数列的前n项和为,且,求数列的通项公式;若,设数列的前n项和为,证明.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.求证:平面ABM;求直线PC与平面ABM所成的角的正切.21.(12分)如图,在直三棱柱中,是BC中点.求证:平面;在棱上存在一点M,满足,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22.(12分)设函数.Ⅰ求函数的单调区间;Ⅱ记过函数两个极值点的直线的斜率为,问函数是否存在零点,请说明理由.高三第四次月考数学(理)考试试卷答案1.选择题:(每题5分共60分)1.A2.B3.B4.C5.D6.D7.A8.C9.A10.D11.C12.A二:填空题:(每题5分共20分)13.14.15.416.4三:解答题:17.(10分)解:(Ⅰ)由题意可得2(a3+1)=a2+a4,即2(2a2+1)=a2+4a2,解得:a2=2.∴a1==1.∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(Ⅱ)bn=an+log2an+1=2n-1+n,Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)==.18.(12分)解:(1)根据题意,atanB=2bsinAa⇒=2bsinAasinB=2bsinAcosB⇒,由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB,变形可得2cosB=1,即cosB=,又由0<B<π,故B=,(2)由(1)可得:B=,则C=π--=,由正弦定理=,可得c=×sinC=,S△ABC=bcsinA=×××=.19.(12分)解:(1)当n=1时,得a1=1,当n≥2时,得an=3an-1,所以,(2)由(1)得:,又①得②两式相减得:,故,所以Tn=-.20.(12分)证明:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,AB∩BM=B,因此有PD⊥平面ABM.(2)解:设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角,且∠PNM=∠PCD,tan.故直线PC与平面ABM所成的角的正切值为2.21.(12分)证明:(1)连结A1C交AC1于点O,连结EO, ACC1A1是正方形,∴O为A1C的中点,又E为CB的中点,∴EO∥A1B, EO⊂平面AEC1,A1B⊄平面AEC1,∴A1B∥平面AEC1.解:(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0),设M(0,0,m),(0≤m≤2),则=(-2,0,m-2),=(1,-1,-2), B1M⊥C1E,∴=-2-2(m-2)=0,解得m=1,...