广东省始兴县风度中学高三数学 课外培优练习4VIP免费

广东省始兴县风度中学高三数学课外培优练习2．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=21AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.11．解法一：PO平面ABCD，POBD又,2,2PBPDBOPO，由平面几何知识得：1,3,6ODPDPB（Ⅰ）过D做//DEBC交于AB于E，连结PE，则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，四边形ABCD是等腰梯形，1,2,OCODOBOAOAOB5,22,2BCABCD又//ABDC四边形EBCD是平行四边形。5,2EDBCBECDE是AB的中点，且2AE又6PAPB，PEA为直角三角形，22622PEPAAE在PED中，由余弦定理得222354215cos215235PDDEPEPDEPDDE故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为21515（Ⅱ）连结OE，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO为二面角PABC的平面角2sin2POPEOPE，045PEO二面角PABC的大小为045（Ⅲ）连结,,MDMBMO，PC平面,BMDOM平面BMD，PCOM2又在RtPOC中，3,1,2PCPDOCPO，233,33PMMC，2PMMC故2时，PC平面BMD解法二：PO平面ABCDPOBD又PBPD，2,2BOPO，由平面几何知识得：1,2ODOCBOAO以O为原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P（Ⅲ）设00(,0,)Mxy，由于,,PMC三点共线，0022zx，PC平面BMD，OMPC00(1,0,2)(,0,)0xz0020xz3由（1）（2）知：023x，023z。22(,0,)33M2PMMC，故2时，PC平面BMD。2．解：（A）（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F∵E为A1B中点∴EF∥21BB1…………2分又∵M为CC1中点∴EF∥C1M∴四边形EFC1M为平行四边形∴EM∥FC1……4分而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N∴A1N//EM//FC1∴N为C1D1中点过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角……8分设AA1=a，则AB=2a，∵A1B1C1D1为正方形∴A1H=a5又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=54522aaaa在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=455411aaHBBB即二面角B—A1N—B1的正切值为45……12分（B）（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a(a>0)，则A1（2a，0，a），B（2a,2a,0）,C（0，2a，0），C1（0，2a，a）……2分∵E为A1B的中点，M为CC1的中点∴E（2a,a,2a），M（0，2a,2a）∴EM//A1B1C1D1…………6分（Ⅱ）设平面A1BM的法向量为n=（x,y,z）又BA1=（0，2a,－a）)2,0,2(aaBM由BMnBAn,1，得424,02202zyzxazaxazay),2,4(aaan…………9分而平面A1B1C1D1的法向量为)1,0,0(1n.设二面角为，则214||||||cos|11nnnn又：二面角为锐二面角214cos，……11分从而45tan………………12分5