第2节导数与函数的单调性考试要求1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.知识梳理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.[常用结论与易错提醒](1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数.(2)有些初等函数(如f(x)＝x3＋x)的单调性问题也不必用导数.(3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意检验等号.(4)注意函数、导函数的定义域.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.答案(1)×(2)√(3)×2.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是()A.(－∞，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，0]D.(0，＋∞)解析令f′(x)＝ex－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞).答案D3.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是()解析根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f′(x)的图象可知，原函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C.答案C4.若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则f(a)与f(b)的大小关系为________.解析f′(x)＝，当0＜x＜e时，1－lnx＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，∴f(a)＜f(b).答案f(a)＜f(b)5.函数f(x)＝的单调递增区间为________；单调递减区间为________.解析函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)<0，得x<1且x≠0，f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，1).答案(1，＋∞)(－∞，0)和(0，1)6.(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________.解析 f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1. f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－. f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立.又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].答案－1(－∞，0]考点一求不含参数的函数的单调性【例1】已知f(x)＝ex，讨论f(x)的单调性.解由题意得f′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x<－4时，f′(x)<0，故f(x)为减函数；当－40，故f(x)为增函数；当－10时，f′(x)>0，故f(x)为增函数.综上知，f(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.规律方法确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【训练1】(1)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A.(－1，1)B.(0，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)(2)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则g(x)＝()A.在(0，1)上是减函数B.在(1，4)上是减函数C.在上是减函数D.在...
