高中数学 第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

7．1正切函数的定义7．2正切函数的图像与性质7．3正切函数的诱导公式1．问题导航(1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？(2)正切函数的定义域能写成(k∈Z)吗？为什么？(3)正切函数的诱导公式的实质是什么？2．例题导读P39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法．试一试：教材P40习题1－7A组T1、T2你会吗？P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值．试一试：教材P41习题1－7A组T7(1)你会吗？1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z．根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tanα＝(比值叫作角α的余切函数，记作y＝cotα，其中α∈R且α≠kπ，k∈Z)．2．正切线(1)定义：在直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴的交点为A(1，0)，过点A(1，0)作x轴的垂线，与角α的终边或其终边的延长线相交于T点，则称线段AT为角α的正切线．(2)画法：3．正切函数的图像与性质解析式y＝tanx图像定义域{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}值域R周期kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期是π奇偶性奇函数单调性在开区间(k∈Z)上都是增函数对称性正切曲线是中心对称图形，其对称中心是(k∈Z)4.正切函数的诱导公式(1)tan(2π＋α)＝tan_α(1.16)；(2)tan(－α)＝－tan_α(1.17)；(3)tan(2π－α)＝－tan_α(1.18)；(4)tan(π－α)＝－tan_α(1.19)；1(5)tan(π＋α)＝tan_α(1.20)；(6)tan＝－cotα(1.21)；(7)tan＝cotα(1.22)．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数．()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．()(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期π.()(4)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tanx．()解析：(1)错误．如x1＝，x2＝，但tan>tan，不符合增函数的定义．(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．(3)错误．正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的．(4)错误．当x＝＋kπ(k∈Z)时，tanx没有意义，此时式子tan(－x)＝－tanx不成立．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．y＝tan(x＋π)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选A.因为y＝tan(x＋π)＝tanx，所以y＝tan(x＋π)是奇函数．3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________．解析：由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，且f＝tan＝.答案：4．化简：＝________．解析：原式＝＝＝tanθ.答案：tanθ1．对正切函数图像的理解(1)正切函数的图像是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和x＝＋kπ(k∈Z)相交，与x轴交于点(kπ，0)(k∈Z)．(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来，“三点”是指(0，0)，，；“两线”是指x＝和x＝－.作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三点(0，0)，，，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．注意：直线x＝＋kπ，k∈Z叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交．2．对正切函数的性质的理解(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意．(2)正切函数的图像的对称中心为(k∈Z)，而不是(kπ，0)(k∈Z)，它没有对称轴．3．对正切函数的诱导公式的理解(1)公式的特点与记忆2π±α，－α，π±α的正切函数值等于α的正切函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)利用“化切为弦”的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦”是指利用tanα＝，α∈R，且α≠＋kπ，k∈Z，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题．例如，tan(－α)＝＝＝－tanα.(3)诱导公式的应用利用诱导公式可把任意...