课后提升作业二弧度制(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.与30°角终边相同的角的集合是()A.B.C.D.【解析】选D.30°化为弧度为30×=,所以与终边相同的角的集合为.【误区警示】本题易选A或B,错选的原因是忽视了角的表示中,角度制与弧度制不能混合使用.2.5弧度的角的终边所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为π<5<2π,故5弧度角的终边在第四象限.【补偿训练】2弧度的角所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为<2<π,故2弧度角终边在第二象限.3.在半径为10cm的圆中,的圆心角所对弧长为()A.πB.πC.D.【解析】选A.由弧长公式l=αr=×10=.4.(2016·菏泽高二检测)将2025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是()A.10π-B.10π+C.12π-D.10π+【解析】选B.2025°=5×360°+225°,又225°=π,故2025°化成α+2kπ(0≤α<2π)的形式为:10π+.5.(2016·玉山高一检测)已知扇形的半径是2,面积是8,则此扇形的圆心角的弧度数是()A.4B.2C.8D.1【解析】选A.根据扇形的面积公式S=αr2,得8=α×4,所以α=4.6.已知θ∈,则θ所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第一或第二象限D.第三或第四象限【解析】选C.因为θ∈.所以设θ=nπ+(-1)n·,n∈Z,当n=2m,m∈Z时,θ=2mπ+,在第一象限;当n=2m+1,m∈Z时,θ=2mπ+π,在第二象限,所以角θ在第一或第二象限.7.(2016·济南高一检测)把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ为()A.-B.-C.D.【解析】选A.因为-=-2π-,此时|θ|最小,故θ=-.8.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()【解析】选C.当k为偶数时,令k=2n,n∈Z,则集合可化为表示的范围为区域;当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,则集合可化为,表示的范围为区域,故选C.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·重庆高一检测)若四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6,则四个内角的弧度数依次为.【解析】由四边形的内角和为2π,四个内角之比为1∶3∶5∶6,所以四个内角依次为:×2π,×2π,×2π,×2π,即,,,.答案:,,,10.(2016·杭州高一检测)已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20cm,则该扇形周长为.【解析】因为1°=rad,所以54°=×54=.则扇形的弧长为l=αr=×20=6π(cm),故扇形的周长为40+6π(cm).答案:40+6π(cm)【补偿训练】(2015·北京高一检测)如图,扇形AOB的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为;弦AB的长为.【解析】由扇形面积公式S=lr,又α=,可得S=·,所以α=2,易得r=1,结合图象知AB=2rsin=2sin1.答案:22sin1三、解答题(每小题10分,共20分)11.试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合.【解析】因为的终边与-的终边相同,故终边落在阴影区域内角的集合S=.【补偿训练】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界),并判断2014°是不是这个集合的元素.【解析】因为150°=π,所以终边落在阴影区域内角的集合为S=.因为2014°=214°+5×360°=+10π.又π<<,而2014°与π终边相同,所以2014°∈S.12.已知α=1690°,(1)把α表示成2kπ+β的形式,其中k∈Z,β∈[0,2π).(2)求θ,使θ与α的终边相同,且θ∈[-4π,-2π).【解析】(1)因为1690°=4×360°+250°=8π+,所以α=8π+.(2)因为θ=2kπ+(k∈Z),且θ∈[-4π,-2π),所以θ=-.【延伸探究】本题(1)条件不变,判断角α所在的象限.【解析】因为角α=8π+,所以角α与角终边相同,而角的终边在第三象限,所以角α为第三象限角.【能力挑战题】已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α(0<α<π)的大小.(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)由于圆O的半径为10,弦AB的长为10,所以△AOB为等边三角形,∠AOB=,所以α=.(2)因为α=,所以l=|α|·r=.S扇=lr=××10=,又S△AOB=×10×10sin=25,所以S=S扇-S△AOB=-25=50.
