广东省惠州市2015届高三上学期第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）复数z=的虚部是（）A．B．iC．D．i2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈AB．3∉BC．A∩B=BD．A∪B=B3．（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2015届高三年级抽取的学生人数为（）A．15B．20C．25D．304．（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=18﹣a6，则S8=（）A．18B．36C．54D．725．（5分）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10B．10C．﹣5D．56．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3．A．18B．21C．24D．287．（5分）已知x、y都是区间内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6D．21二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是．10．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是．11．（5分）用数字1，2，3，4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有个．12．（5分）设变量x，y满足，则z=x+y的最大值是．13．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为．三.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）极坐标系中，A，B分别是直线ρcosθ﹣ρsinθ+5=0和圆ρ=2sinθ上的动点，则A，B两点之间距离的最小值是．（几何证明选讲选做题）15．如图，△OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO=3，PA•PB=4，则腰长OA=．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．17．（12分）去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0﹣50为优秀，各类人群可正常活动．惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．2（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn）（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（14分）已知数列{an}中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）﹣1．①求证：数列{an}是等差数列②求数列{an}的通项公式③设数列{}的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn≤M对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由．20．（14分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；3（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（14分）已知关于x的函数f（x）=﹣x3+bx2+cx+bc，其导函数为f′（x）．令g（x）=|f′（x）|，记...
