【优化探究】2017届高考数学一轮复习第七章第七节立体几何中的向量方法课时作业理新人教A版A组考点能力演练1.如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.(1)求证：AC⊥FB；(2)求二面角E－FB－C的大小．解：(1)证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC， 四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC. DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC.又 四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∴AC＝2，BC＝2，则有AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB.(2)由(1)知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得D(0,0,0)，F(0,2,2)，B(2,4,0)，E(0,0,2)，C(0，2,0)，A(2,0,0)，∴EF＝(0,2,0)，FB＝(2,2，－2)，设平面EFB的法向量为n＝(x，y，z)，则有令z＝1，则n＝(1,0,1)，由(1)知平面FCB的一个法向量为AC＝(－2,2,0)，设二面角E－FB－C的大小为θ，由图知θ∈，∴cosθ＝|cos〈n，AC〉|＝，∴θ＝.2.(2016·兰州诊断)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1⊥BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．解：(1)证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，∴D1C⊥BC.在等腰梯形ABCD中，连接AC， AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面AD1C，∴AD1⊥BC.(2)法一： AB∥CD，∴∠D1DC＝， CD＝1，∴D1C＝.在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D1M，则D1M⊥AB，∴∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角．在Rt△D1CM中，CM＝，D1C＝，∴D1M＝＝，∴cos∠D1MC＝，即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.法二：由(1)知AC、BC、D1C两两垂直， AB∥CD，∴∠D1DC＝， CD＝1，∴D1C＝.在等腰梯形ABCD中， AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴AC＝，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，由得可得平面ABC1D1的一个法向量为n＝(1，，1)．又CD1＝(0,0，)为平面ABCD的一个法向量．因此cos〈CD1，n〉＝＝，∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.3．(2016·贵阳模拟)如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2.(1)若点E为AB的中点，求证：BD1∥平面A1DE；(2)在线段AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：四边形ADD1A1为正方形，连接AD1，A1D∩AD1＝F，则F是AD1的中点，又因为点E为AB的中点，连接EF，则EF为△ABD1的中位线，所以EF∥BD1.又因为BD1⊄平面A1DE，EF⊂平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.(2)根据题意得DD1⊥DA，DD1⊥DC，AD⊥DC，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0，2,0)．设满足条件的点E存在，令E(1，y0,0)(0≤y0≤2)，EC＝(－1,2－y0,0)，D1C＝(0,2，－1)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，则得令y1＝1，则平面D1EC的法向量为n1＝(2－y0,1,2)，由题知平面DEC的一个法向量n2＝(0,0,1)．由二面角D1ECD的大小为得cos＝＝＝，解得y0＝2－∈[0,2]，所以当AE＝2－时，二面角D1ECD的大小为.B组高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解：(1)证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，...
