2011届高三二轮专题复习之八数学思想方法（转化与化归思想）一、知点透析解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化策略有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等.二、初露锋芒1、设集合,则满足的集合B的个数是（C）A.1B.3C.4D.82、函数f(x)=x3–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是.00，－1<<2，af（－1）=a（－a－3）≥0，af（2）=a（2a+3）≥0．解得实数a的取值范围为［-3，］．图1问题2空间与平面的转化例2如图2所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P－ABC．（1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示．求证：侧棱PB⊥AC；用心爱心专心1图2（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角的余弦值；（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示．已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积．【解析】（1）在平面图中P1A⊥P1B，P2B⊥P2C．故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC．（2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD．由三垂线定理得BD⊥AC，∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4．设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3==，∴EP3=2．故CP3=，P2P3=，由AC·DP3=CP3·AEDP3=，又BP3==6，∴BD=．在△PDB中，cos∠PDB=，∴侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值为．（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点．由此得：AB=BC，AC=a．在三棱锥中，取AC中点D．连PD、BDAC⊥PD，AC⊥BD，故AC⊥平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，∴S△PDB=ad，∴V=a2d．问题3变量与常量的转化例3对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．用心爱心专心2)3,2(AP)3,2(C)1,6(BxyO【解析】设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是．问题4数与形的转化例5求函数的最小值.【解析】，设，则上述问题转化为求的最小值，如图点关于轴的对称点为,因为,所以的最小值为.问题5正与反的转化例5给定实数，且，设函数（其中R且），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于轴．【证明】设、是函数图象上任意两个不同的点，则．假设直线平行于轴，则必有，即，整理得．由，得，这与已知条件“”矛盾，因此假设不成立，即直线不平行于轴．问题6抽象与具体的转化例6设定于在实数集上，当时，，且对于任意实数都有，同时，解不等式.【解析】由中取得，若，则令，则与时，矛盾.所以.当时，，当时，，，而所以又因，所以，设且则，所以在上为单调增函数.又因，所以.由得单调性可得用心爱心专心3PC1B1A1CAB，解得.四、专题小结1．掌握转化和化归的思想方法，在运用时应注意用“变换”的方法解决数学问题，依据问题本身提供的信息...
