第一部分专题三数列第2讲数列求和与数列的综合应用专题强化精练提能理1．(2015·高考浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0解析：选B.因为a3，a4，a8成等比数列，所以a＝a3a8，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.因为d≠0，所以a1d＜0.因为Sn＝na1＋d，所以S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.2．(2015·济宁市模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝()A．－30B．－60C．90D．120解析：选D.由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.3．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝()A．2B．2nC．2n＋1－2D．2n－1－2解析：选C.因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝＝2n＋1－2.4．已知曲线C：y＝(x>0)及两点A1(x1，0)和A2(x2，0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3，0)，那么()A．x1，，x2成等差数列B．x1，，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列解析：选A.由题意，B1，B2两点的坐标分别为，，所以直线B1B2的方程为y＝－(x－x1)＋，令y＝0，得x＝x1＋x2，所以x3＝x1＋x2，因此，x1，，x2成等差数列．5．(2015·烟台模拟)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则＝()A.B.C.D.解析：选C.当n＝1时，3S1＝a1a2，3a1＝a1a2，所以a2＝3，当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，两式相减得：3an＝an(an＋1－an－1)，又因为an≠0，所以an＋1－an－1＝3，所以{a2n}是一个以3为首项，3为公差的等差数列，所以＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝.6．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对任意的n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为()A．3B．4C．5D．6解析：选C.在等差数列{an}中，因为a2＝5，a6＝21，所以解得a1＝1，d＝4，所以＝＝.因为－＝－＝－－＝－－＝＋>0，所以数列(n∈N*)是递减数列，数列(n∈N*)的最大项为S3－S1＝＋＝，所以≤，m≥.又m是正整数，所以m的最小值是5.7．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以{}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.答案：－8．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n>1，n∈N*，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，则S10＝________．解析：因为所以an＋2＋an＝2an＋1，所以数列{an}从第二项开始为等差数列，当n＝2时，S3＋S1＝2S2＋2，所以a3＝a2＋2＝4，所以S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＝91.答案：919．(2015·南昌市调研测试卷)一牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过1个关口，守关人将带走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第1个关口前有________只羊．解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、…、通过第6个关口前，剩下的羊的只数组成数列{an}(n＝1，2，3，4，5，6)，则由题意得a2＝a1＋1，a3＝a2＋1，…，a6＝a5＋1，而a6＋1＝2，解得a6＝2，因此代入得a5＝2，a4＝2，…，a1＝2.答案：210．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围为________．解析：依题意得bn＝1＋，对任意的n∈N*，都有bn≥b8，即数列{bn}的最小项是第8项，于是有≥.又数列{an}是公差为1的等差...
