第1课时基本不等式课标解读课标要求核心素养1.掌握基本不等式❑√ab≤a+b2(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).(重点)2.能灵活运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.(难点)1.通过学习并掌握基本不等式,培养学生数学抽象素养.2.借助基本不等式的简单应用,提升学生数学运算、逻辑推理素养.填写下表:ab❑√aba+b2❑√ab与a+b2的大小关系121814141622……121814516❑√ab
0,b>0,那么❑√ab≤a+b2(当且仅当a=b时取“=”).问题2:你能给出它的证明吗?答案用比较法证明:a+b2-❑√ab=12[(❑√a)2+(❑√b)2-2❑√a·❑√b]=12(❑√a-❑√b)2≥0,当且仅当❑√a=❑√b,即a=b时取“=”.1.如果a>0,b>0,那么❑√ab①≤a+b2,当且仅当②a=b时,等号成立.其中,a+b2叫做正数a,b的算术平均数,❑√ab叫做正数a,b的几何平均数.2.变形:ab≤(a+b2)2,a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立.a+b≥2❑√ab,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.思考:不等式a2+b2≥2ab与不等式❑√ab≤a+b2成立的条件一样吗?提示不一样.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,❑√ab≤a+b2成立的条件是a>0,b>0.探究一对基本不等式❑√ab≤a+b2(a>0,b>0)的理解例1(多选)下面给出的四个推导过程正确的是()A. a、b为正实数,∴ba+ab≥2❑√ba·ab=2B. a∈R,a≠0,∴4a+a≥2❑√4a·a=4C. x、y∈R,xy<0,∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2❑√(-xy)·(-yx)=-2D.不等式a+1a≥2❑√a×1a=2,当且仅当a=1a,即a=±1时等号成立答案AC解析A. a、b为正实数,∴ba、ab为正实数,符合基本不等式的条件,故A的推导正确.B. a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴B的推导错误.C.由xy<0,得xy、yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后,-xy、-yx均变为正数,符合基本不等式的条件,故C的推导正确.D.不等式a+1a≥2❑√a×1a=2,只有a>0时才成立,且等号成立的条件是a=1.故选AC.思维突破1.基本不等式❑√ab≤a+b2(a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系.2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条件是a、b都是正数;(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,❑√ab≤a+b2的等号成立,即a=b⇒a+b2=❑√ab;仅当a=b时,a+b2≥❑√ab的等号成立,即a+b2=❑√ab⇒a=b.1.下列不等式的推导过程正确的是(填序号).①若x>1,则x+1x≥2❑√x·1x=2;②若x<0,则x+4x=-[(-x)+(-4x)]≤-2❑√(-x)·(-4x)=-4;③若a,b∈R,则ba+ab≥2❑√ba·ab=2.答案②解析①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=1x,即x=1时,x+1x≥2的等号成立,因为x>1,所以x+1x>2.③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.探究二利用基本不等式比较大小例2若02❑√ab,a2+b2>2ab,∴最大者应从a+b,a2+b2中选择. a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),00,b>0.2.比较大小:x2+2❑√x2+12(填“>”“<”“≥”或“≤”).答案≥解析x2+2❑√x2+1=❑√x2+1+1❑√x2+1≥2,当且仅当❑√x2+1=1❑√x2+1,即x=0时,等号成立.探究三利用基本不等式证明不等式例3(易错题)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+1a)(1+1b)≥9.易错辨析:利用基本不等式证明不等式时,易出现的错误有两个,一是不注意基本不等式的使用条件;二是证明步骤不完整,如例3中容易忘掉说明等号成立的条件.证明 a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+ba=2+ba,同理,1+1b=2+ab,∴(1+1a)(1+1b)=(2+ba)(2+ab)=5+2(ba+ab)≥5+4=9.∴(1+1a)(1+1b)≥9当且仅当a=b=12时等号成立.易错点拨利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从基本不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:①多次...
