第二讲数列求和及数列的综合应用一、公式法与分组求和法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的拆项方法(1)＝(2)＝(－)(3)＝(4)＝四、倒序相加法和并项求和法1．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．2．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.基础自测1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()A．120B．70C．75D．100【解析】 Sn＝＝n(n＋2)，∴＝n＋2.∴数列前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.【答案】C2．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于()1A．9B．99C．10D．100【解析】 an＝＝－，又a1＋a2＋…＋an＝－(1－＋－＋…＋－)＝－1＝9，∴n＝99.【答案】B3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15【解析】 an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.【答案】A4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()A.B.C.D.【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.【答案】A考点一分组转化求和例(2014山东)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（Ｉ）求数列的通项公式；（II）设，记，求.【解析】：（Ⅰ）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项且，即，解得：.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，①当n为偶数时：②当n为奇数时：2综上：跟踪练习[2014·湖南卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.方法与技巧分组转化法求和的常见类型,1若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.2通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.考点二错位相减求和例（2013山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.解：本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力．(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，当n＝1时，＝；当n≥2时，＝1－－＝，所以＝，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*.又Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－＝－－，3所以Tn＝3－.方法与技巧：1．错位相减只是实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和．在构造方程时，Sn的左右两边同乘以等比数列的公比．2．错位相减法的难点在于运算，为力...
