优化探究高考数学一轮复习 3-8 正弦定理和余弦定理的应用课时作业 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【优化探究】2016高考数学一轮复习3-8正弦定理和余弦定理的应用课时作业文一、选择题1.(2014年高考四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析：由题图知AB＝＝，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°，在△ABC中，由正弦定理得＝，可得BC＝120(－1)．答案：C2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为()A．10mB．20mC．20mD．40m解析：设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40m.答案：D3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速率是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10海里/小时．答案：C4.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速率沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()1A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析：由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin30°＝10.答案：A5.(2015年南昌模拟)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，是sinθ的值为()A.B.C.D.解析：连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sinθ＝.答案：A二、填空题6．(2015年潍坊调研)为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析：在△BCD中，由正弦定理，得＝，解得BC＝10米，∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10米．答案：107．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.解析：如图，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1.答案：－128．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20m，则折断点与树干底部的距离是________m.解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，解得AO＝m.答案：三、解答题9.(2015年济南模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解析：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为＝14海里/时．(2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得＝.即sinα＝＝＝.10.如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救...