加强练(四)导数及其应用一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取到极值，则a的值为()A.－1B.－C.0D.解析因为f(x)＝alnx＋x，所以f′(x)＝＋1.又因为f(x)在x＝1处取到极植，所以f′(1)＝a＋1＝0⇒a＝－1.经检验符合题意.故选A.答案A2.(2020·浙江新高考仿真卷二)已知函数g(x)＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象有可能是()解析由函数g(x)＝(x－1)f′(x)的图象易得函数g(x)有两个零点，设其较大的零点为x0.当x＜1时，g(x)＜0，x－1＜0，则f′(x)＞0；当1＜x＜x0时，g(x)＞0，x－1＞0，则f′(x)＞0；当x＞x0时，g(x)＜0，x－1＞0，则f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝x0左侧单调递增，在x＝x0右侧单调递减，故选C.答案C3.(2020·许昌、洛阳质检三)已知a＞0，曲线f(x)＝3x2－4ax与g(x)＝2a2lnx－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为()A.0B.－C.－D.－解析由f(x)＝3x2－4ax，f′(x)＝6x－4a，由g(x)＝2a2lnx－b，g′(x)＝.设两曲线的公共点P(x0，y0)，x0＞0，因为两曲线在公共点处的切线相同，所以由6x0－4a＝，x0＝a，x0＝－a，又a＞0，所以x0＝a，消去y0得b＝2a2lna＋a2，设b＝h(a)＝2a2lna＋a2，h′(a)＝4alna＋4a，令h′(a)＝0，a＝，又a＞，h′(a)＞0，0＜a＜时，h′(a)＜0，所以a＝是h(a)的极小值点，即bmin＝h＝－.答案B4.(2020·北京昌平区二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)＝若函数F(x)＝f(x)－m有6个零点，则实数m的取值范围是()A.B.∪C.D.解析函数F(x)＝f(x)－m有6个零点，等价于函数y＝f(x)与y＝m有6个交点，当0≤x＜1时，f(x)＝x2－＝－，当x≥1时，f(x)＝，f′(x)＝，当x∈[1，2]时，f(x)递增，当x∈(2，＋∞)时，f(x)递减，f(x)的极大值为f(2)＝，作出函数f(x)的图象如图，y＝f(x)与y＝m的图象有6个交点，得0＜m＜.答案C5.(2020·温州适应性考试)已知实数a＞0，b＞0，a≠1，且满足lnb＝，则下列判断正确的是()A.a＞bB.a＜bC.logab＞1D.logab＜1解析由lnb＝＝－得lnb－＋＝0，设f(x)＝lnx－＋(x＞0)，则f′(x)＝－－＝，则函数f(x)＝lnx－＋在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，所以当0＜x＜1时，lnx－＋＞0，即lnx＞－；当x＞1时，lnx－＋＜0，即lnx＜－，在平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－的图象如图所示.由图易得若lnb＝＝－，则0＜b＜a＜1或1＜a＜b，A，B错误；当a＞1时，1＜a＜b，函数y＝logax为增函数，则logab＞logaa＝1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，函数y＝logax为减函数，则logab＞logaa＝1，C正确，D错误，故选C.答案C6.(2020·浙江名校新高考研究联盟三联)已知a＞b＞0，则下列不等式正确的是()A.|lna－b|＞|lnb－a|B.|－b|＜|－a|C.|lna－b|＜|lnb－a|D.|－b|＞|－a|解析因为|lna－b|2－|lnb－a|2＝(lna－b－lnb＋a)·(lna－b＋lnb－a)，构造函数f(x)＝lnx＋x，则易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当a＞b＞0时，lna＋a＞lnb＋b，所以lna－b－lnb＋a＞0，由不等式lnx≤x－1＜x，可得lna－b＋lnb－a＜0，所以|lna－b|2－|lnb－a|2＜0，即|lna－b|＜|lnb－a|.同理，|－b|2－|－a|2＝(－b＋－a)(－b－＋a).因为a＞b，＞，所以－b－＋a＞0.构造函数f(x)＝－x，则f′(x)＝－1，令f′(x)＝－1＞0，得0＜x＜，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.此时当a＞b＞0时，f(a)，f(b)大小不定，所以|－b|、|－a|大小不定，故选C.答案C7.(2019·天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.B.C.∪{1}D.∪{1}解析如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象.(1)先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图象只有一个交点的情况.当直线y＝－x＋a过点B(1，2)时，2＝－＋a，解得a＝.所以0≤a≤.(2)再研究当x>1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况：①相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为，则a＝1.②相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点.过点A(1，1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥.结合图象可得，所求实数a的...
