第42课推理与证明A.课时精练一、填空题1.观察下列等式：a2－b2＝(a－b)(a＋b)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，a4－b4＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)，…，照此规律，an＋1－bn＋1＝________．(n∈N*)2.用反证法证明命题“a，b∈N*，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是____________．3.若函数y＝f(x)在(0，2)上是单调增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是_________________．4.观察下列关系式：1＋x＝1＋x，(1＋x)2≥1＋2x，(1＋x)3≥1＋3x，…，照此规律，得到的第n个关系式为_________________________．5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，…，则按照以上规律，若8＝具有“穿墙术”，则n＝________．6.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：(第6题)按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是________．7.将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是.8.大数学家拉普拉斯曾经这样说过“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比”.事实上，数学中的许多重要定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式：观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数V与面数F的和与棱数E相差2，即V＋F－E＝2，于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此.利用上述思想，观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，13＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…，则第7个等式左端的和式的最后一个数字、右端的结果分别是.二、解答题9.若a，b∈（0，＋∞），且a＋b＝1，求证：＋≤2.10.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°.（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.11.已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）设Tn＝n（2an－5），求S1，S2，S3，S4，S5，T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律.B.滚动小练1.已知函数满足对任意的x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是.2.已知函数f（x）＝sin和g（x）＝sin的图象在y轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M，N，若O为坐标原点，则OM·ON＝.3.已知函数f（x）＝x3－（1＋a）x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.23
