专题突破练25直线与圆及圆锥曲线1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.2.已知圆O:x2+y2=4,点A(❑√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,32)是椭圆上一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程;(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA=6S△PHN,求直线MN的方程.5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,❑√22)为椭圆上一点,且|PF1|=3❑√22.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,直线x+y-❑√6=0与圆x2+y2=b2相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(4,0)的直线l与椭圆C交于不同两点A,B,线段AB的中垂线为l1,若l1在y轴上的截距为413,求直线l的方程.专题突破练25直线与圆及圆锥曲线1.解(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=❑√a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2(ca)2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=❑√3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.①由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.2.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=❑√3,b=1,则曲线Γ的方程为x24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则⃗OB⊥⃗AB.设B(x0,y0),则x0(x0-❑√3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=2❑√3,y0=±❑√2❑√3.则kOB=±❑√22,kAB=∓❑√2,则直线AB的方程为y=±❑√2(x-❑√3),即❑√2x-y-❑√6=0或❑√2x+y-❑√6=0.3.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F(34,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由{y=32x+t,y2=3x,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由⃗AP=3⃗PB可得y1=-3y2.由{y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4❑√133.4.解(1)因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2,则b2=a2-c2=3c2.又P(-1,32)在椭圆上,所以14c2+94b2=1,即14c2+34c2=1,所以c=1.则a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)因为P(-1,32),由(1)计算可知A(2,0),H(0,1),当直线MN与x轴垂直时,易验证,不合题意.当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,联立直线与椭圆的方程{y=kx+1,x24+y23=1,消去y,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由韦达定理可得{x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3.①由S△HMA=6S△PHN,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,代入①,可得{-2x2=-8k4k2+3,-3x22=-84k2+3,所以3×16k2(4k2+3)2=84k2+3,解得k=±❑√62,所以直线MN的方程为y=±❑√62x+1.5.解(1)设椭圆的左焦点F1(-c,0)(c>0),则|PF1|=❑√(1+c)2+12=3❑√22,解得c=1,所以|PF2|=❑√22...
