ExOyNAM解答题训练（6）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解：(1)由正弦定理可设＝＝＝＝＝，所以a＝sinA，b＝sinB，(3分)所以＝＝.(6分)(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，(7分)又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．(12分)所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.(14分)2.(2012·江苏省南京市5月高三考前综合题5)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E为边DC的中点，如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2.(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；(2)若平面AEP⊥平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥AMQB的体积．图1图2解(1)连AC、BQ，设AC∩BQ＝F，连MF.则平面PAC∩平面MQB＝MF，因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，所以PA∥MF.(2分)在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，AB＝EC＝2.所以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC.(4分)从而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)(2)由(1)知，△AED是边长为2的正三角形，从而PQ⊥AE.因为平面AEP⊥平面ABCE，交线为AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.因为PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交线为QC.(9分)过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥MABQ的高．因为PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.因为点M是PC的中点，所以MN＝PQ＝.(11分)由(1)知，△ABE为正三角形，且边长为2.所以，S△ABQ＝.三棱锥AMQB的体积VAMQB＝VMABQ＝××＝.(14分)3.已知椭圆(a>b>0)的左顶点A(－2，0)，1离心率为，过点E(，0)的直线l交椭圆于M，N．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)求证：∠MAN的大小为定值．解：(Ⅰ)由题条件a＝2，离心率e＝＝，∴c＝1．∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆方程为．-----------5分(Ⅱ)①若直线l：x＝，则M(，)，N(，)，则AM·AN＝(，)•(，)＝0，∴AM⊥AN，∴∠MAN＝90°．--------7分②若直线l斜率存在，设l：y＝k(x＋)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由⇒(3＋4k2)x2＋k2x＋－12＝0．-----------9分∴x1＋x2＝，x1•x2＝，----------10分∴y1•y2＝k2(x1＋)(x2＋)＝k2[x1•x2＋(x1＋x2)＋]＝．∴AM·AN＝(x1＋2，y1)•(x2＋2，y2)＝(x1＋2)(x1＋2)＋y1•y2＝＋4＋＝0．∴AM⊥AN，∴∠MAN＝90°．----------14分综上，∠MAN的大小为定值90°．----------15分4.已知函数.(I)若,求+在[2，3]上的最小值；(II)若时,,求的取值范围；解:(1)因为,且[2，3],所以,当且仅当x=2时取等号,所以在[2，3]上的最小值为(2)由题意知,当时,,即恒成立所以,即对恒成立,则由,得所求a的取值范围是2
