§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性,)1．问题导航(1)角α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？(2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？(3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？2．例题导读2．例题导读P15例1.通过本例学习，学会根据角α的终边上一点的坐标，求角α的三角函数值．试一试：教材P23习题1－4A组T1你会吗？P15例2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的交点坐标．试一试：教材P17练习T4你会吗？1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sinα，余弦函数u＝cosα的定义域为全体实数．12．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋注：按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π.1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinα>0，则角α的终边在第一或第二象限．()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°是正弦函数y＝sinx的一个周期．()(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周期．()解析：(1)错误．因为sinα>0，所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上．(2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin60°＝sin120°，但60°≠120°.(3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y＝sinx的一个周期．(4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．若角α的终边与单位圆相交于点，则sinα的值为()A.B．－C.D．－解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点到原点的距离为1，则sinα＝＝－，故选B.3．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________．解析：由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.答案：2(答案不唯一)1．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O交于点P(u，v)，实际上给出了两个对应关系，即实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v――→正弦实数α(弧度)对应于点P的横坐标u――→余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的．2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，如下图，2那么，比值叫作α的正弦，记作sinα，即sinα＝；比值叫作α的余弦，记作cosα，即cosα＝.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称终边位置正弦函数余弦函数x轴正半轴01x轴负半轴0－1y轴正半轴10y轴负半轴－104.对周期函数...
