课后提升作业二十五两角差的余弦公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.cos(-15°)的值是()A.B.C.D.【解析】选C.cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=(cos30°+sin30°)=.2.化简cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+15°)的结果为()A.B.-C.D.-【解析】选A.原式=cos(α-45°)cos(α+15°)+sin(α-45°)sin(α+15°)=cos[(α-45°)-(α+15°)]=cos(-60°)=.3.已知点P(1,)是角α终边上一点,则cos(30°-α)=()A.B.C.-D.【解题指南】解答本题要注意利用任意角三角函数的定义,计算cosα,sinα.【解析】选A.因为点P(1,)是角α终边上一点,所以cosα==,sinα==,所以cos(30°-α)=cos30°cosα+sin30°sinα=×+×=.4.(2016·开封高一检测)sin163°sin103°+sin73°sin13°的值为()A.-B.C.-D.【解析】选B.sin163°sin103°+sin73°sin13°=cos73°cos13°+sin73°sin13°=cos(73°-13°)=cos60°=.5.(2016·郑州高一检测)已知cosα=,cos(α+β)=-,α,β都是锐角,则cosβ=()A.-B.-C.D.【解析】选C.因为α,β是锐角,所以0<α+β<π,又cos(α+β)=-<0,所以<α+β<π,所以sin(α+β)=,sinα=.又cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.【补偿训练】(2016·长春高一检测)已知cos=,0<θ<,则cosθ等于()A.B.C.D.【解析】选A.因为<θ+<,所以sin==,cosθ=cos=coscos+sinsin=×+×=.6.在△ABC中,若cosA=,cosB=,则cos(A-B)=()A.-B.C.-D.【解析】选D.因为cosA=,cosB=,所以sinA=,sinB=,故cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=.7.已知点A(cos80°,sin80°),B(cos20°,sin20°),则||等于()A.B.C.D.1【解析】选D.||=====1.8.(2016·大庆高一检测)已知cos=-,则cosx+cos的值是()A.-B.±C.-1D.±1【解析】选C.cosx+cos=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx===cos=-1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·洛阳高一检测)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),若a与b的夹角为,则cos(α-β)=.【解析】因为a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以|a|=|b|=1,又因为a与b的夹角为,所以a·b=|a||b|cos=1×1×=.又a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),所以cos(α-β)=.答案:【延伸探究】本题中,若a⊥b且α,β∈(0,π),试求α-β.【解析】因为a⊥b，所以a·b=0,即cosαcosβ+sinαsinβ=0.从而cos(α-β)=0.因为α,β∈(0,π),所以-π<α-β<π,所以α-β=或-.10.如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点,如果点A的纵坐标为,点B的横坐标为,则cos(α-β)=.【解题指南】先根据任意角三角函数的定义求出sinα,cosβ,再利用同角三角函数关系式,求cosα,sinβ,最后由两角差的余弦公式计算cos(α-β).【解析】因为点A的纵坐标为,点B的横坐标为,所以sinα=,cosβ=.因为α,β为锐角,所以cosα=,sinβ=,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.答案:三、解答题11.(10分)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的值.【解题指南】先求cos2β的值,再求2β,进而求β.【解析】由α-β∈,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=.由α+β∈,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-,cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1.又因为α-β∈,α+β∈,所以2β∈,所以2β=π,故β=.
