专题突破练10利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2020全国Ⅲ,理21)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f(12)处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.2.(2020河南开封三模,文21)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)的图象在点1e,f(1e)处的切线斜率为-e,其中e为自然对数的底数.(1)求实数a的值,并求f(x)的单调区间;(2)证明:xf(x)>xex.3.(2020山东潍坊二模,20)已知函数f(x)=1x+alnx,g(x)=exx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:a=1时,f(x)+g(x)-(1+ex2)lnx>e.4.(2020山东济宁5月模拟,21)已知两个函数f(x)=exx,g(x)=lnxx+1x-1.(1)当t>0时,求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值;(2)求证:对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)>g(x)都成立.5.(2020山东烟台一模,21)已知函数f(x)=1+lnxx-a(a∈R).(1)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围,并证明:对任意的n∈N*,都有1+12+13+…+1n>ln(n+1);(2)设g(x)=(x-1)2ex,讨论方程f(x)=g(x)的实数根的个数.6.已知函数f(x)=lnx+a1x-1,a∈R.(1)若f(x)≥0,求实数a取值的集合;(2)证明:ex+1x≥2-lnx+x2+(e-2)x.7.(2019天津,文20)设函数f(x)=lnx-a(x-1)ex,其中a∈R.(1)若a≤0,讨论f(x)的单调性;(2)若0
x0,证明3x0-x1>2.8.(2020天津,20)已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+9x的单调区间和极值;(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有f'(x1)+f'(x2)2>f(x1)-f(x2)x1-x2.专题突破练10利用导数证明问题及讨论零点个数1.(1)解f'(x)=3x2+b,依题意得f'(12)=0,即34+b=0.故b=-34.(2)证明由(1)知f(x)=x3-34x+c,f'(x)=3x2-34.令f'(x)=0,解得x=-12或x=12.f'(x)与f(x)的情况为:x-∞,-12-12-12,121212,+∞f'(x)+0-0+f(x)↗c+14↘c-14↗因为f(1)=f(-12)=c+14,所以当c<-14时,f(x)只有大于1的零点.因为f(-1)=f(12)=c-14,所以当c>14时,f(x)只有小于-1的零点.由题设可知-14≤c≤14.当c=-14时,f(x)只有两个零点-12和1.当c=14时,f(x)只有两个零点-1和12.当-140,所以f(x)在(0,2e)上单调递减,在(2e,+∞)上单调递增.(2)证明设h(x)=xf(x)=xlnx+2e,由h'(x)=lnx+1=0,得x=1e,所以当x∈(0,1e)时,h'(x)<0,当x∈(1e,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,1e)上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(1e)=1e.设t(x)=xex(x>0),则t'(x)=1-xex,所以当x∈(0,1)时,t'(x)>0,t(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,t'(x)<0,t(x)单调递减,所以t(x)max=t(1)=1e.综上,在(0,+∞)上恒有h(x)>t(x),即xf(x)>xex.3.解(1)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1x2+ax=ax-1x2,当a≤0时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,由f'(x)>0,得x>1a,由f'(x)<0,得00时,f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增.(2)因为x>0,所以不等式等价于ex-ex+1>elnxx,设F(x)=ex-ex+1,F'(x)=ex-e,所以x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,x∈(0,1)时,F'(x)<0,F(x)单调递减,所以F(x)min=F(1)=1;设G(x)=elnxx,G'(x)=e(1-lnx)x2,所以x∈(0,e)时,G'(x)>0,G(x)单调递增,x∈(e,+∞)时,G'(x)<0,G(x)单调递减,所以G(x)max=G(e)=1.虽然F(x)的最小值等于G(x)的最大值,但1≠e,所以F(x)>G(x),即ex-ex+1>elnxx,故原不等式成立.4.解(1)由f(x)=exx得,f'(x)=xex-exx2=ex(x-1)x2,∴当x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(-∞,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数.①当t≥1时,f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,f(x)的最大值为f(t+1)=et+1t+1.②当01,f(x)在区间(t,1)上为减函数,在区间(1,t+1)上为增函...
